考研竞赛每日一练 day 26 一道积分计算题（暴力因式分解）

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:49:38

4160

发布于 2022-11-23 15:49:38

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道积分计算题（暴力因式分解）

计算积分

\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^8+x^4+1}

解析：分解因式，将原式拆分成积分和，

x^8+x^4+1=(x^4+1)^2-x^4=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)

x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)

带入，则有

\begin{align*}&\dfrac{1}{x^8+x^4+1}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^2+1}{x^4+x^2+1}-\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1})\\&=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{x^2-x+1})-\dfrac{1}{2}(\dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x-\dfrac{1}{2}}{x^2+x+1}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}x-\dfrac{1}{2}}{x^2-\sqrt{3}x+1})\end{align*}

\begin{align*}\int\dfrac{dx}{x^8+x^4+1}&=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\int\dfrac{2x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}x+1}dx-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\int\dfrac{2x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}x+1}\\&=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left[\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}})+\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}})\right]+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\left[\ln(x^2+\sqrt{3}x+1)-\ln(x^2-\sqrt{3}x+1)\right]\\&=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\arctan (\dfrac{\sqrt{3}x}{1-x^2})+\dfrac{1}{s\sqrt{3}}\ln\dfrac{x^2+\sqrt{3}x+1}{x^2-\sqrt{3}x+1}+C\end{align*}

作者：小熊

写作日期：2021-11-07

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-11-07，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度