考研竞赛每日一练 day 28 利用级数收敛性估计函数值的大小问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:52:00

2340

发布于 2022-11-23 15:52:00

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用级数收敛性估计函数值的大小问题

设

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos nx }{\sqrt{n^3+n}}

，

F(x)

是

f(x)

的原函数，

F(0)=0

，证明：

\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{15} < F(\dfrac{\pi}{2}) < \dfrac{\sqrt{2}}{2}

解析：根据三阶函数的有界性，有

|\dfrac{\cos nx}{\sqrt{n^3+n}}|\leq \dfrac{1}{\sqrt{n^3+n}}

，且

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^3+n}}|

收敛，故

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos nx }{\sqrt{n^3+n}}

也收敛，对其逐项积分有

\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin nx }{n\sqrt{n^3+n}},\qquad F(\dfrac{\pi}{2})=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)\sqrt{(2k-1)^3}+(2k-1)}

根据交错级数的莱布尼茨收敛定理有

F(\dfrac{\pi}{2}) < a_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

，余项

|R_{2}| < a_{2}=\dfrac{1}{3\sqrt{30}}

，即

|F(\dfrac{\pi}{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}| < \dfrac{1}{3\sqrt{30}}

移项，即可得

\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{15}< \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{3\sqrt{30}} < F(\dfrac{\pi}{2}) < \dfrac{\sqrt{2}}{2}

作者：小熊

写作日期：2021-10-09

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-11-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

函数

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

函数

登录后参与评论

0 条评论

热度