考研竞赛每日一练 day 31 泰勒公式应用解决一道导数题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:54:32

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泰勒公式应用解决一道导数题

设函数

f(x)

在

[a,+\infty)

上二阶可导，且有常数

A,B > 0

，使得

|f(x)| \le A

，

|f^{''}(x)|\leq B

，

x\in[a,+\infty)

。证明

\forall x\in[a,+\infty)

，有

|f^{'}(x)|\le 2\sqrt{AB}

解析：由已知，对任意

x_{0}\in[a,+\infty)

，有

f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+\dfrac{1}{2}f^{''}(\xi)(x-x_{0})^2\qquad x_{0} < \xi < x

取绝对值，有

|f^{'}(x_{0})|=\left|\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-\dfrac{1}{2}f^{''}(\xi)(x-x_{0})\right|\le\dfrac{2}{h}A+\dfrac{1}{2}Bh\qquad h=|x-x_{0}|

因为

h > 0

，利用均值不等式有

\dfrac{2}{h}A+\dfrac{1}{2}Bh \ge2\sqrt{\dfrac{2}{h}A\cdot\dfrac{1}{2}}hB=2\sqrt{AB}

，所以有

\forall x\in[a,+\infty)

，有

|f^{'}(x)|\le 2\sqrt{AB}

。

作者：小熊

写作日期：2021-11-14

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原始发表：2021-11-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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