考研竞赛每日一练 day 32 变限积分加泰勒以及介质定理解决一道中值问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:55:04

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

变限积分加泰勒以及介质定理解决一道中值问题

设函数

f(x)

在

[-1,1]

上具有二阶连续导数，且

f(0)=0

，证明：在

(-1,1)

内至少存在一点

\xi

，使得

\displaystyle f^{''}(\xi)=3\int_{-1}^{1}(x)dx

解析：令

\displaystyle F(x)=\int_{-1}^{x}f(x)dx

，则

F(x)

在定义域内有三阶导数，利用泰勒公式有，

\begin{align*}F(-1)&=F(0)+F^{'}(0)(-1-0)+\dfrac{F^{''}(0)}{2!}(-1-0)^2+\dfrac{F^{'''}(\xi_{1})}{3!}(-1-0)^3\\&=F(0)-f(0)+\dfrac{f^{'}(0)}{2}-\dfrac{f^{''}(\xi_{1})}{6}\qquad\xi\in(-1,1)\end{align*}

\begin{align*}F(1)&=F(0)+F^{'}(0)(1-0)+\dfrac{F^{''}(0)}{2!}(1-0)^2+\dfrac{F^{'''}(\xi)}{3!}(1-0)^3\\&=F(0)+f(0)+\dfrac{f^{'}(0)}{2}+\dfrac{f^{'''}(\xi_{2})}{6}\qquad \xi\in(-1,1)\end{align*}

F(-1)=0

，

F(1)=\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)dx

，

f(0)=0

，利用

F(1)-F(-1)

带入有

\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)dx=\dfrac{1}{6}[f^{''}(\xi_{1})+f^{''}(\xi_{2})]

，由于

f(x)

二阶连续可导，设

f^{''}(x)

在

[\xi_{1},\xi_{2}]

上有最大最小值，不妨设最大值为

，最小值为

，则

\dfrac{1}{3}m\le \dfrac{1}{6}[f^{''}(\xi_{1})+f^{''}(\xi_{2})]\le \dfrac{1}{3}M

，根据介值定理有，存在

\xi \in(\xi_{1},\xi_{2})

，使得

f^{''}(\xi)=\dfrac{1}{2}(f^{''}(\xi_{1})+f^{''}(\xi_{2}))

，故原式得证，

\displaystyle f^{''}(\xi)=3\int_{-1}^{1}(x)dx

作者：小熊

写作日期：2021-11-15

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原始发表：2021-11-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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