考研竞赛每日一练 day 33 渐近线问题的讨论（实质极限的计算）

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:55:31

5300

发布于 2022-11-23 15:55:31

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

渐近线问题的讨论（实质极限的计算）

使曲线

y=\dfrac{x}{e^{ax}+b}

有三条渐近线，求

a、b

满足的条件。

解析：分情况讨论，再利用极限的计算进行判断。

当

a=0

时，

b\neq 0

，即曲线是一条直线，不存在渐近线；当

a\neq 0，b=0

时，只有有一条水平渐近线；

当

a < 0,b\neq 0

时，

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x}{e^{ax}+b}=0

，又

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{y}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{e^{ax}+b}=\dfrac{1}{b}

，

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(y-\dfrac{1}{b}x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-xe^{ax}}{b(e^{ax}+b)}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-x}{b(1+be^{-ax})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-1}{-ab^2e^{-ax}}=0

即曲线有一条水平渐近线

y=0

和一条斜渐近线

y=\dfrac{1}{b}x

；

当

a > 0,b\neq 0

时，

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{e^{ax}+b}=0

，又

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{y}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{e^{ax}+b}=\dfrac{1}{b}

，

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(y-\dfrac{1}{b}x)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{-xe^{ax}}{b(e^{ax}+b)}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{-x}{b(1+be^{-ax})}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{-1}{-ab^2e^{-ax}}=0

即曲线有一条水平渐近线

y=0

和一条斜渐近线

y=\dfrac{1}{b}x

；

由上面推出

a\neq0,b\neq0

，曲线有一条水平渐近线和一条斜渐近线，要想三条渐近线，必须有铅直渐近线，即有铅直渐近线，当

x=0

，

e^{ax}+b=0

，则

b=-1

，且

e^{ax}+b=0

，满足，即

b < 0

，故

b\neq -1

，

b < 0

。综上

a\neq 0

，

b < 0

且

b\neq -1

作者：小熊

写作日期：2021-11-17

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-11-17，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度