考研竞赛每日一练 day 34 中值定理中参数的计算（本质中值转化为极限的计算）

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:56:00

5030

发布于 2022-11-23 15:56:00

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

中值定理中参数的计算（本质中值转化为极限的计算）

对

\forall x\in (0,+\infty)

，证明：存在

\theta(x)\in(0,1)

，使得

\ln\sqrt{1+x}=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x\theta(x)}}

，且

\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\theta(x)=\dfrac{1}{2}

。

解析：利用柯西中值定理表示出

\theta(x)

，令

f(x)=\ln\sqrt{1+x}

，

g(x)=\sqrt{1+x}

，显然

f(x),g(x)

在

[0,x]

内连续，在

(0,x)

可导，且

g^{'}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\neq 0

，根据柯西中值定理，有

\theta(x)\in(0,1)

，

\dfrac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}=\dfrac{f^{'}[x\theta(x)]}{g^{'}[x\theta(x)]}

，带入有

\dfrac{\ln\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-1}=\dfrac{\dfrac{1}{1+x\theta(x)}}{\dfrac{1}{\sqrt{1+x\theta(x)}}}

，化简得

\ln\sqrt{1+x}=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x\theta(x)}}

，解出

\theta(x)=\dfrac{4(\sqrt{1+x}-1)^2-[\ln(1+x)]^2}{x[\ln(1+x)]^2}

，所以

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\theta(x)&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{4(\sqrt{1+x}-1)^2-[\ln(1+x)]^2}{x[\ln(1+x)]^2}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2(\sqrt{1+x}-1)-\ln(1+x)}{x^2}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2(\sqrt{1+x}-1)+\ln(1+x)}{x}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}-\dfrac{1}{1+x}}{2x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{x})=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x(1+x)}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{x(1+x)}=\dfrac{1}{2}\end{align*}

本题在考研以及竞赛中是非常老的题型，综合运用中值定理以及极限的计算来进行考察，注意式子的变形。

作者：小熊

写作日期：2021-11-18

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-11-18，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度