考研竞赛每日一练 day 35 两道换元积分函数题（满足特殊的系数关系）

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:56:24

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两道换元积分函数题（满足特殊的系数关系）

（1）

\displaystyle \int\dfrac{x^5dx}{\sqrt[4]{x^3+1}}

（2）

\displaystyle \int x^3(1-5x^2)^{10}dx

解析：形如

x^n(ax^m+b)^p

的积分函数，且

m,n

满足

n=km-1

可以让

所在的式子进行整体换元。

（1）令

\sqrt[4]{x^3+1}=t

，则

x^3=t^4-1

，代入有

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{x^5dx}{\sqrt[4]{x^3+1}}&=\int\dfrac{t^4-1}{t}\cdot \dfrac{4}{3}t^3dt=\dfrac{4}{3}\int(t^6-t^2)dt\\&=\dfrac{4}{3}(\dfrac{1}{7}t^7-\dfrac{1}{3}t^2)+C=\dfrac{4}{21}(x^3+1)^{\dfrac{7}{4}}-\dfrac{4}{9}(x^3+1)^{\dfrac{3}{4}}+C\end{align*}

（2）令

1-5x^2=t

，则

xdx=-\dfrac{1}{10}t

，代入

\begin{align*}\displaystyle \int x^3(1-5x^2)^{10}dx&=\int\dfrac{1}{5}(1-t)\cdot t^{10}\cdot(-\dfrac{1}{10})dt=\dfrac{1}{50}\int(t^{10}-t^{11})dt\\&=-\dfrac{1}{50}(\dfrac{1}{11}t^{11}-\dfrac{1}{12}t^{12})+C=\dfrac{1}{600}(1-5x^2)^{12}-\dfrac{1}{550}(1-5x^2)^{11}+C\end{align*}

上述两题均是特殊的换元，由于满足题中给的换元条件，才可以换元，大家大可以自己总结。

作者：小熊

写作日期：2021-11-19

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原始发表：2021-11-19，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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