考研竞赛每日一练 day 42 分部积分两次解决一道积分题

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:00:09

3550

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分部积分两次解决一道积分题

已知

y^{'}(x)=\arctan (x-1)^2

以及

y(0)=0

，求

\displaystyle I=\int_{0}^{1}y(x)dx

解析：显然由题意，利用分部积分，有

\displaystyle I=\int_{0}^{1}y(x)dx=xy(x)\big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}xy^{'}(x)dx=y(1)-\int_{0}^{1}x\arctan(x-1)^2dx

再利用分部积分上式后面部分有

\begin{align*}\int_{0}^{1}x\arctan(x-1)^2dx&=\int_{0}^{1}(x-1)\arctan(x-1)^2dx+\int_{0}^{1}\arctan (x-1)^2dx\\&=-\int_{-1}^{0}x\arctan x^2dx+\int_{0}^{1}y^{'}(x)dx=-\dfrac{1}{2}(x^2\arctan x^2\big|_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} x^2d\arctan x^2)+y(1)-y(0)\\&=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{0}\dfrac{x}{1+x^2}dx+y(1)=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\ln(1+x^2)\big|_{-1}^{0}+y(1)\\&=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}\ln2+y(1)\end{align*}

所以原式

=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\ln2

作者：小熊

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