每日一练11.10

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:14:09

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

加项减项以及1的妙用求不定积分

（1）求

\displaystyle \int\dfrac{x^4}{1+x^2}dx

（2）求

\displaystyle \int\dfrac{1}{x(1+x^6)}dx

分析：（1）利用加一减一凑平方差公式，在化简式子直接积分；（2）利用加项

x^6

，化简式子，再凑不定积分。

解析：

（1）

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{x^4}{1+x^2}dx&=\int\dfrac{x^4-1+1}{1+x^2}dx=\int (x^2-1)dx+\int\dfrac{1}{x^2+1}dx\\&=\dfrac{1}{3}x^3-x+\arctan x+C\end{align*}

（2）

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{1}{x(x^6+1)}dx&=\int\dfrac{1+x^6-x^6}{x(x^6+1)}dx=\int\dfrac{1}{x}dx-\int\dfrac{x^5}{x^6+1}dx\\&=\ln |x|-\dfrac{1}{6}\int\dfrac{1}{x^6+1}d(1+x^6)=\ln |x|-\dfrac{1}{6}\ln(x^6+1)+C\end{align*}

求

\displaystyle \int\dfrac{1}{\sin x\cos^4 x}dx

分析：可以利用

\sin^2x+\cos^2x=1

，对原式化简，拆分再分别求积分。

解析：

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{1}{\sin x\cos^4x}dx&=\int\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos^4x}dx=\int\dfrac{\sin^2x}{\sin x\cos^4x}dx+\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x\cos^4x}dx\\&=-\int\dfrac{1}{\cos^4x}d(\cos x)+\int\dfrac{1}{\sin x\cos ^2x}dx=\dfrac{1}{3\cos^3x}+\int\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos^2x}dx\\&=\dfrac{1}{3\cos^3x}-\int\dfrac{1}{\cos^2 x}d(\cos x)+\int\dfrac{1}{\sin x}dx\\&=\dfrac{1}{3\cos^3x}+\dfrac{1}{\cos x}+\ln(\tan\frac{x}{2})+C\end{align*}

作者：小熊

写作日期：2021-11-10

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原始发表：2021-11-10，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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