每日一练 11.11

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:14:26

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

凑微分解决不定积分的问题

求下列不定积分
（1）

\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{e^x-1}{e^x+1}}dx

（2）

\displaystyle \int\dfrac{e^{\sin2x}\sin ^2x}{e^{2x}}dx

（3）

\displaystyle \int\dfrac{1}{\sin^6x+\cos^6x}dx

（4）

\displaystyle \int\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}dx

（5）

\displaystyle \int\dfrac{1-x^7}{x(1+x^7)}dx

（6）

\displaystyle\int\frac{\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^2})+5}}{\sqrt{1+x^2}}dx

解析：

（1）

\begin{align*}\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{e^x-1}{e^x+1}}dx&=\int\dfrac{e^x-1}{\sqrt{e^{2x}-1}}dx=\int\dfrac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-1}}dx-\int\dfrac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}dx\\&=\ln|e^x+\sqrt{e^{2x}-1}|+\int\dfrac{de^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\\&=\ln|e^x+\sqrt{e^{2x}-1}|+\arcsin e^{-x}+C\end{align*}

（2）

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{e^{\sin2x}\sin^2x}{e^{2x}}dx&=\int e^{\sin2x-2x}\sin^2xdx=\int e^{\sin2x-2x}\cdot\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x)dx\\&=-\dfrac{1}{4}\int e^{\sin2x-2x}d(\sin2x-2x)=-\dfrac{1}{4}e^{\sin2x-2x}+C\end{align*}

（3）首先

\begin{align*}\sin^6x+\cos^6x&=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)\\&=(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=1-\dfrac{3}{4}\sin^22x=\dfrac{1}{4}(1+3\cos^22x)\end{align*}

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{1}{\sin^6x+\cos^6x}dx&=\int\dfrac{4}{1+3\cos^22x}dx=\int\dfrac{2\sec^2(2x)}{3+\sec^2(2x)}d(2x)\\&=\int\dfrac{2d(\tan2x)}{4+\tan^2(2x)}=\arctan(\dfrac{\tan2x}{2})+C\end{align*}

（4）

\begin{align*}\displaystyle\int\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}dx&=-\int\dfrac{\cos2x}{1-\frac{1}{2}\sin^2x}dx=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int(\dfrac{2\cos 2x}{\sqrt{2}-\sin2x}+\dfrac{2\cos2x}{\sqrt{2}+\sin2x})dx\\&=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\dfrac{\sqrt{2}-\sin2x}{\sqrt{2}+\sin2x}+C\end{align*}

（5）

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{1-x^7}{x(1+x^7)}dx&=\int\dfrac{(1-x^7)x^6}{x^7(1+x^7)}dx=\dfrac{1}{7}\int\dfrac{1-x^7}{x^7(1+x^7)}dx^7\\&=\dfrac{1}{7}\int(\dfrac{1}{x^7}-\dfrac{2}{1+x^7})dx^7=\ln|x|-\dfrac{2}{7}\ln|1+x^7|+C\end{align*}

（6）可以知

[\ln(x+\sqrt{1+x^2})]^{'}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}{}

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{\sqrt{\ln(1+\sqrt{1+x^2})+5}}{\sqrt{1+x^2}}dx&=\int\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^2})+5}d(\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^2})+5})\\&=\dfrac{2}{3}[\ln(x+\sqrt{1+x^2})+5]^\dfrac{3}{2}{}+C\end{align*}

作者：小熊

写作日期：2021-11-11

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