考研（大学）数学极限与连续（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:19:26

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极限与连续（3）

基础

求

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^2\left( 1+\frac{2}{n} \right) ^2\cdot \cdot \cdot \left( 1+\frac{n}{n} \right) ^2}

解：记原式为

\begin{align*}I&=\exp{\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{^2}{n}\left( \ln \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\ln \left( 1+\frac{2}{n} \right) +\cdot \cdot \cdot +\ln \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right)}=\exp{2\int_0^1{\ln \left( 1+x \right)}dx}\\&=\exp2\ln \left( 1+x \right) x|_{0}^{1}-2\int_0^1{\frac{x}{1+x}dx}\\&=\exp{2\ln 2-2\int_0^1{dx}+2\int_0^1{\frac{1}{1+x}dx=\exp{4\ln 2-2}}}\\&=\dfrac{16}{e^2}\end{align*}

解题思路：首先看到

趋近无穷大，一般就是要定积分的定义，但是题目不容易直接看出来，故先用取对数化简一下，然后将求积的形式化成和差的形式，然后就是定积分的计算问题，这里用到了分部积分和加项减项的积分方法。

提高

求

\displaystyle \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\tan ax-a\sin x}{x\left( 1-\cos ax \right)}

解：记原式为

\begin{align*}I&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\tan ax-ax+ax-a\sin x}{x\cdot \frac{1}{2}a^2x^2}=2\frac{1}{a^2}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\tan ax-ax}{x^3}+2\frac{1}{a^2}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{ax-a\sin x}{x^3}\\&=2\frac{1}{a}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sec ^2ax-1}{3x^2}+2\frac{1}{a^2}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\frac{2a^2+1}{3a}\end{align*}

解题思路：知

\tan x-x~kx^3

，有

x-\sin x~x3

，故想到加一项，然后再减一项，这样就可以凑三阶，剩下的用洛必达法则（当然也可以试试泰勒公式），再拆分计算相加。

设

f\left( x \right) =\underset{t\rightarrow x}{\lim}\left( \frac{\sin t}{\sin x} \right) ^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}

，求

f\left( x \right)

的间断点并指出其类型。

解：原式

\displaystyle=\underset{t\rightarrow x}{\lim}\left( 1+\frac{\sin t-\sin x}{\sin x} \right) ^{\frac{\sin t-\sin x}{\sin x}\cdot \frac{x}{\sin t-\sin x}\cdot \frac{\sin t-\sin x}{\sin x}}=e^{\underset{t\rightarrow x}{\lim}\frac{x}{\sin t-\sin x}\cdot \frac{\sin t-\sin x}{\sin x}}=e^{\underset{t\rightarrow x}{\lim}\frac{x}{\sin t-\sin x}\cdot \frac{\sin t-\sin x}{\sin x}}=e^{\frac{x}{\sin x}}

，所以

f\left( x \right)

的间断点为

x=k\pi \left( k=0,\pm 1,.... \right)

，

\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f\left( x \right) =e

，即是

f\left( x \right)

的可去间断点，

x=k\pi \left( k=\pm 1,.... \right)

是第二类间断点。

解题思路：这种题首先要去化简极限的形式，先把函数的表达式先弄出来，这题看是

的重要极限，故用加项减项先凑

，然后直接求分子就可以。剩下的就是讨论间断点，注意

\sin x

的周期性，以及

趋近

的时候，利用等价无穷小即可得出结果。

作者：小熊

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