考研（大学）数学导数与微分（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:22:23

4760

发布于 2022-11-23 16:22:23

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

导数与微分（1）

基础

（1）设

\begin{cases}x=\arctan t,\\ y=\ln \left( 1+t^2 \right) ,\end{cases}

，求

\dfrac{dy}{dx},\dfrac{d^2y}{dx^2}

（2）设

\begin{cases}x= 1+t^2,\\ y= \sin 2t,\end{cases}

，求

\dfrac{dy}{dx},\dfrac{d^2y}{dx^2}

解：（1）

\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{1+t^2}

，则

\dfrac{dy}{dx}=2t

，

\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{dt}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=2\cdot \left( 1+t^2 \right) =2+2t^2

（2）

\dfrac{dy}{dt}=2\cos 2t,\dfrac{dx}{dt}=2t

，则

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos 2t}{2t}=\dfrac{\cos 2t}{t}

，

\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{dt}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{-2t\sin 2t-\cos 2t}{t^2}\cdot \dfrac{1}{2t}=\dfrac{-2t\sin 2t-\cos 2t}{2t^3}.

解题思路，参数方程的导数是有公式的，一阶导分别对中间变量求导即可，再相除。二阶到看成一阶导对变量导数，按照变量替换的原则进行还原之后也是对中间变量的复合。

设

y=e^{\sin ^2\dfrac{1}{x}}+\ln \left( \tan 2x+1 \right)

，求

\dfrac{dy}{dx}

解：

\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}&=e^{\sin ^2\frac{1}{x}}\cdot 2\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\cdot -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1+\tan 2x}\cdot 2\sec ^22x\&=-\frac{1}{x^2}\sin \frac{2}{x}e^{\sin ^2\frac{1}{x}}+\frac{2\sec ^22x}{1+\tan 2x}\end{align*}

解题思路：严格按照复合函的求导法则进行计算，当含有多层函数求导的时候，越是这样，越要小心，一步步按照求导的慢慢地剥离，最后化简即可。常见的函数求导一定要记清楚，不能搞混。

提高

设

f\left( x \right) =x^2\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}\left( \dfrac{t+x}{t-x} \right) ^{4t}

，

f^{'}\left( x \right)

。

解：

f\left( x \right) =x^2\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}\left( \dfrac{t-x+2x}{t-x} \right) ^{4t}=x^2\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}\left( 1+\dfrac{2x}{t-x} \right) ^{\dfrac{t-x}{2x}\cdot \frac{2x}{t-x}\cdot 4t}=x^2e^{\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{2x}{t-x}\cdot 4t}=x^2e^{8x}

；所以

f^{'}=2xe^{8x}+8x^2e^{8x}

解题思路：首先看到题目中的极限先求极限，这个明显又要凑

的常数极限，加一项减一项，然后就出来了。后面的是乘法函数的极限，用公式可以求出。

若

f\left( x \right) =2nx\left( 1-x \right) ^n

，记

M_n=\underset{0\le x\le 1}{\max}f\left( x \right)

，求

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}M_n

解：

f^{'}\left( x \right) =2n\left( 1-x \right) ^n-2n^2\left( 1-x \right) ^{n-1}=0

，得

x=\dfrac{1}{n+1}

,当

x\in \left( 0,\dfrac{1}{n+1} \right)

，

f^{'}\left( x \right) > 0

，当

x\in (\dfrac{1}{n+1}，1 )

\时，

f^{'}\left( x \right) < 0

。即

x=\dfrac{1}{n+1}

为

f\left( x \right)

最大值。

M_n=f\left( \dfrac{1}{n+1} \right)=\dfrac{2n}{n+1}\cdot \left( \dfrac{n}{n+1} \right) ^n

，即

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}M_n=2\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right) ^2}=\dfrac{2}{e}

。

解题思路：判断函数的最大最小值，一般要用到导数的正负关系，故首先求导，然后得到驻点。由函数驻点左右的单函数与零的大小关系，得到

M_n

的最大值。后面是极限的求法，还是凑

，直接简化计算得出结果即可。

作者：小熊

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-11-29，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

编程算法

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

编程算法

登录后参与评论

0 条评论

热度