考研（大学）数学导数与微分（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:23:28

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导数与微分（3）

基础

设

f\left( x \right) =\dfrac{4x-3}{2x^3-3x-2}

，求

f^{\left( n \right)}\left( x \right)

。

解：

f\left( x \right) =\dfrac{4x-3}{2x^3-3x-2}=\dfrac{4x-3}{\left( x-2 \right) \left( 2x+1 \right)}=\dfrac{2}{2x+1}+\dfrac{1}{x-2}

所以

f^{\left( n \right)}\left( x \right) =\left( -1 \right) ^n\dfrac{n!}{\left( x-2 \right) ^{n+1}}+\left( -1 \right) ^{n+1}\dfrac{2^{n+1}n!}{\left( 2x+1 \right) ^{n+1}}

解题思路：首先看到分母直接因式分解，这个可以用十字交叉法，后面拆分的话直接用待定系数法进行拆分，然后就是基础的函数求导的环节，直接公式求出来就可以了。

设

f\left( x \right)

连续，且对任意的

x,y

均有

x,y\in \left( -\infty ,+\infty \right)

有

f\left( x+y \right) =f\left( x \right) +f\left( y \right)+2xy

，且

f^{'}\left( 0 \right) =1

，求

f\left( x \right)

解：当

x,y=0

时，

f\left( 0 \right) =2f\left( 0 \right)

，则

f\left( 0 \right) =0

，对任意的

x\in \left( -\infty ,+\infty \right)

，有

\begin{align*}f^{'}\left( x \right) &=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( x+h \right) -f\left( x \right)}{h-0}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( x \right) +f\left( h \right) +2xh-f\left( x \right)}{h}\\&=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( h \right) -f\left( 0 \right)}{h-0}+2x=2x+f^{'}\left( 0 \right) =2x+1\end{align*}

则

f\left( x \right) =x^2+x+c

，因为

f\left( 0 \right) =0

，则

c=0

，所以

f\left( x \right) =x^2+x

。

提高篇

设

f\left( x \right)

在

\left[ 0,1 \right]

上连续，在

\left( 0,1 \right)

内可导，

f\left( 0 \right) =0

，

f\left( \dfrac{1}{2} \right) =1

，

f\left( 1 \right) =0

，证明：（1）存在

\eta \in \left( \frac{1}{2},1 \right)

，使得

f\left( \eta \right) =\eta

；（2） .对任意的

k\in \left( -\infty ,+\infty \right)

，存在

\xi \in \left( 0,\eta \right)

，使得

f^{'}\left( \xi \right) -k\left[ f\left( \xi \right) -\xi \right] =1

解：（1）令

F\left( x \right) =f\left( x \right) -x

，

F\left( \dfrac{1}{2} \right) =1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}

，

F\left( 1 \right) =0-1=-1

，由零点定理，则存在

\eta \in ( \dfrac{1}{2}

,1 ) ，使得

F\left( \eta \right) =0

，即

f\left( \eta \right) =\eta

。

（2）令

G\left( x \right) =e^{-kx}\left[ F\left( x \right) \right]

，

G\left( x \right)

在

\left( 0,\xi \right)

上可导，在

\left[ 0,\eta \right]

上连续，且

G\left( 0 \right) =0

，

G\left( \eta \right) =0

，故由罗尔定理得存在一点

\xi

在

\in \left( 0，\eta \right)

内，使得

G^{'}\left( \xi \right) =0

，所以

f^{'}\left( \xi \right) -k\left[ f\left( \xi \right) -\xi \right] -1=0

即原式得证。

解题思路：本题第一问实质就是构造函数，然后用零点定理直接得出结果，第二问用到第一问的条件，直接构造条件，找到两个零点，再用罗尔定理得出。

设

f\left( x \right)

在

\left[ 0,2 \right]

上连续，在

\left( 0,2 \right)

内二阶可导，且

\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{\ln \left( f\left( x \right) +1 \right)}{\cos \frac{\pi}{2}x}=0

，又

\displaystyle f\left( 2 \right)=2\int_0^{\frac{x}{2}}{f\left( x \right)}dx

，证明；存在

\xi \in \left( 0,2 \right)

，使得

f^{'}\left( \xi \right) +f^{''}\left( \xi \right) =0

。

解：由

\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{\ln \left( f\left( x \right) +1 \right)}{\cos \dfrac{\pi}{2}x}=0

，则

f\left( 1 \right) =-1

，而

\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{\ln \left( f\left( x \right) +1 \right)}{\cos \dfrac{\pi}{2}x}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{f\left( x \right) +1}{\cos \dfrac{\pi}{2}x}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{f^{'}\left( x \right)}{-\dfrac{\pi}{2}\sin \dfrac{\pi}{2}x}

，所以

f^{'}\left( 1 \right) =0

。由积分中值定理，

f\left( 2 \right) =f\left( c \right) \left( c\in \left( 1,\dfrac{3}{2} \right) \right)

，由罗尔定理，则存在

\eta \in \left( 1,2 \right)

，使得

f^{'}\left( \eta \right) =0

。令

\varphi \left( x \right) =e^xf^{'}\left( x \right)

，

f^{'}\left( 1 \right) =f^{'}\left( \eta \right)

，且

e^x\ne 0

，则存在

\xi \in \left( 0,2 \right)

内，使得

\varphi ^{'}\left( x \right) =0

，即

f^{'}\left( \xi \right) +f^{''}\left( \xi \right) =0

解题思路：本题首先对极限下手，得到初始条件一阶导数的值，再由积分中值定理，得到另外一个一阶导数的值，再构造二阶导数的值，由罗尔定理，则可得出结果。

作者：小熊

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