考研（大学）数学导数与微分（5）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:24:23

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

导数与微分（5）

基础

设

f\left( x \right)

在

\left[ a,b \right]

上连续，在

\left( a,b \right)

内可导，且

f\left( a \right) =f\left( b \right) =0

，证明：（1）存在

\xi \in \left( a,b \right)

，使得

f^{'}\left( \xi \right) =2\xi f\left( \xi \right)

；（2）存在

\eta \in \left( a,b \right)

，使得

\eta f^{'}\left( \eta \right) +f\left( \eta \right) =0

解：

（1）令

\varphi \left( x \right) =e^{-x^2}f\left( x \right)

，

\varphi^{'}\left( x \right) =-2xe^{-x^2}f\left( x \right) +e^{-x^2}f\left( x \right)

，

e^{-x^2}\ne 0

，由于

f\left( a \right) =f\left( b \right) =0

，所以得到

\varphi \left( a \right) =\varphi \left( b \right) =0

，由罗尔定理得到，存在

\xi \in \left( a,b \right)

内，使得

\varphi ^{'}\left( \xi \right) =0

，即得证

f^{'}\left( \xi \right) =2\xi f\left( \xi \right)

；

（2）令

G\left( x \right) =xf\left( x \right)

，

G^{'}\left( x \right) =f\left( x \right) +xf^{'}\left( x \right)

，

G\left( a \right) =G\left( b \right)

,\text{所以由罗尔定理，存在一点

\eta \in \left( a,b \right)

，使得

G^{'}\left( x \right) =0

，则有

\eta f^{'}\left( \eta \right) +f\left( \eta \right) =0

解题思路：对于这种问题，一般就是直接考虑函数的构造问题，对于这两问都可以采用还原法来找原函数，

g\left( x \right) f\left( x \right) +f^{'}\left( x \right) =0

，将

f\left( x \right)

集中到一边，即得到

\ln e^{g\left( x \right)}+\ln f\left( x \right)

故原函数就可以得到

M\left( x \right) =e^{g\left( x \right)}f\left( x \right)

，只是将不同的

g\left( x \right)

进行代换。

设

f\left( x \right)

在

\left[ 0,1 \right]

上连续，证明：存在

\xi \in \left( 0,1 \right)

内，使得

\displaystyle \int_0^{\xi}{f\left( t \right) dt+}\left( \xi -1 \right) f\left( \xi \right) =0

解：将题目中的

\xi

换成

进行代换，整理得

\displaystyle \int_0^x{f\left( t \right) dt+xf\left( x \right)}-f\left( x \right) =0

，即还原得

\displaystyle \left( x\int_0^x{f\left( t \right) dt-\int_0^x{f\left( t \right) dt}} \right) ^{'}=0

，

\displaystyle G\left( x \right) =x\int_0^x{f\left( t \right) dt-\int_0^x{f\left( t \right) dt}}

，

G\left( 0 \right) =0

，

G\left( 1 \right) =0

，由罗尔定理得存在一点

\xi \in \left( 0,1 \right)

内，使得

G^{'}\left( \xi \right) =0

，即得

\displaystyle \int_0^{\xi}{f\left( t \right) dt+}\left( \xi -1 \right) f\left( \xi \right) =0

。

解题思路：首先对函数进行处理，注意一般将要求的式子进行换元，然后进行还原，注意变限积分的式子的处理，求导的过称注意代换，后面就是找罗尔定理的条件即可得出结果。

提高

当

x > 0

时，证明：

\dfrac{\arctan x}{\ln \left( 1+x \right)}\le \dfrac{\sqrt{2}+1}{2}

解：用中值定理做的话比较简单，

G\left( x \right) =\arctan x

，

g\left( x \right) =\ln \left( 1+x \right)

，注意

G\left( 0 \right) =0

，

g\left( 0 \right) =0

，由柯西中值定理，存在

\xi \in \left( 0,x \right)

内，使得

\dfrac{\arctan x}{\ln \left( 1+x \right)}=\dfrac{G\left( x \right) -G\left( 0 \right)}{g\left( x \right) -g\left( 0 \right)}=\dfrac{G^{'}\left( \xi \right)}{g^{'}\left( \xi \right)}=\dfrac{1+\xi}{1+\xi ^2}

，令

\varphi \left( x \right) =\dfrac{1+x}{1+x^2}

，

\varphi ^{'}\left( x \right) =\dfrac{1-2x-x^2}{\left( 1+x^2 \right) ^2}=0

，得

x=\sqrt{2}-1

，当

x\in \left( 0,\sqrt{2}-1 \right)

，

\varphi ^{'}\left( x \right) > 0

，反之在

x\in \left( \sqrt{2}-1,+\infty \right)

，

\varphi ^{'}\left( x \right) < 0

。故

\varphi \left( x \right) _{\max}=\varphi \left( \sqrt{2}-1 \right) =\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}

。即得证。本题还可以构造函数，直接用单调性直接证明大小。

解题思路：首先看证明的式子，左边是函数带有参数进行处理的话，右边是一个具体的值。想到的是柯西中值定理的应用，然后找其中值定理的条件，后面得到一个关系式子之后，实质就是求函数的最大值，故对函数进行求导然后就是函数单调性的应用，先找到函数的驻点，然后利用第二极值判断条件，得到函数的最大值，后面直接代换就证明结果。

作者：小熊

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原始发表：2021-12-03，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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