考研（大学）数学导数与微分（7）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:26:18

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导数与微分（7）

证明：当

x > 0

时，

x^2 > \left( 1+x \right) \ln ^2\left( 1+x \right)

解：令

G\left( x \right) =x^5-\left( 1+x \right) \ln ^2\left( 1+x \right)

，

G^{'}\left( x \right) =2x-\ln ^2\left( 1+x \right) -2\ln \left( 1+x \right)

，

G^{"}\left( x \right) =2-\dfrac{2\ln \left( 1+x \right)}{1+x}-\dfrac{2}{1+x}=2\dfrac{x-\ln \left( 1+x \right)}{1+x}=0

，得

x=0

。当

x > 0

时，

G^{"}\left( x \right) > 0

，即

G^{"}\left( x \right)

在

x \in \left( 0,+\infty \right)

上单调递增，

G^{''}\left( x \right) =0,x=0

即

G\left( x \right)

在

( 0,+\infty )

上单调递增，

G\left( 0 \right) =0

，故得证。

解题思路：首先对于不等式想到构造函数，然后用单调性进行证明，但是一次求导不能看出其单调性，故再进行二次求导，令二阶导数为零，然后可以看出其单调性，再用一阶导，依次进行剥离，最后看出原函数的单调性。

证明：当

x > 0

时，

\arctan x+\dfrac{1}{x}>\dfrac{\pi}{2}

解：令

f\left( x \right) =\arctan x+\dfrac{1}{x}

，

f^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{1}{\left( 1+x^2 \right) x^2} < 0

，

f\left( x \right)

在

( 0,+\infty )

单调递减，所以

f\left( x \right) _{\min}=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}f\left( x \right) =\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\arctan x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}

.故得证.

求

\displaystyle y=\int_0^x{\left( 1-t \right)}\arctan tdt

的极大值.

解：

y^{'}=\arctan x-x\arctan x

，

y^{'}=0

得

x=0

或者

x=1

，

y^{''}=\dfrac{1}{1+x^2}-\arctan x-\dfrac{x}{1+x^2}

，

y^{"}\left( 0 \right) =1 > 0

，

y^{''}\left( 1 \right) =-\dfrac{\pi}{4}<0

，所以

x=0

是极小值点，

x=1

是极大值点。极大值

\begin{align*}y\left( 1 \right) &=\int_0^1{\left( 1-t \right) \arctan tdt}=\int_0^1{\arctan tdt-}\int_0^1 t\arctan tdt \\&=t\arctan t\bigg|_{0}^{1}-\int_0^1{\frac{t}{1+t^2}}dt-\frac{t^2}{2}\arctan t\bigg|_{0}^{1}+\frac{1}{2}\int_0^1{\frac{t^2}{1+t^2}}dt\\&=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}-\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\left( 1-\ln 2 \right)\end{align*}

解题思路：首先根据极值先找到一阶导数为零的点，即驻点，然后用极值的第二判别法进行判别，即可以得出最大最小值的结果。

作者：小熊

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