考研（大学）数学导数与微分（8）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:28:45

2090

发布于 2022-11-23 16:28:45

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

导数与微分（8）

基础

证明：当

0< x < 1

时，证明

e^{-2x}>\dfrac{1-x}{1+x}

解：对原不等式进行等价拆分，取对数的话即可以得出要证明的式子，也就是

-2x>\ln \left( 1-x \right) -\ln \left( 1+x \right)

，构造函数

G\left( x \right) =-2x-\ln \left( 1-x \right) +\ln \left( 1+x \right)

，对函数进行求导，注意

G\left( 0 \right) =0

，且

G^{'}\left( x \right) =-2+\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}

，令

G^{'}\left( x \right) =0

，得到

x=0

，且有

x\in \left( 0,+\infty \right)

时，

G^{'}\left( x \right) > 0

，即函数是增函数。

G\left( x \right) _{\min}=G\left( 0 \right) =0

，

G\left( x \right) > 0

是恒成立的。

解题思路：首先根据函数进行代换计算，一般就是函数取对数进行运算，这是一个十分有用的技巧，将不好算的分式转转化成对数的加减进行运算，后面就是函数的极值问题，根据求导然后看驻点就可以得出结果。

当

0 < x < \dfrac{\pi}{2}

时，证明：

\dfrac{\pi}{2}x < \sin x < x

解：

G\left( x \right) =\dfrac{\pi}{2}x-\sin x,f\left( x \right) =\sin x-x

，分别对两个函数进行求导，则可以得到，

G^{'}\left( x \right) =\dfrac{\pi}{2}-\cos x

，而

f^{'}\left( x \right) =\cos x-1

，显然

f^{'}\left( x \right) < 0

，

G^{'}\left( x \right) > 0

，则可以得到

G\left( x \right)

是单调递增函数，而

f\left( x \right)

是单减函数，则可以得到

G\left( x \right) _{\min}=G\left( 0 \right) =0

，同理

f\left( x \right) _{\max}=f\left( 0 \right) =0

，既可以得证。

解题思路：首先根据不等式进行证明的话，先进行函数的转化，首先转换成两个函数，后面就是函数的极值的问题，先对函数进行求导，根据函数的有界性以及函数的的零点位置进行函数的大小划分。最后根据极值来判断函数的最值，既可以得出不等关系，即证明不等式。

求函数

\displaystyle f\left( x \right) =\int_0^1{|x-t|}dt

在

\left[ 0,1 \right]

上最大值以及最小值.

解：首先对

f\left( x \right)

进行化简

\displaystyle f\left( x \right) =\int_0^{x}{|\left( x-t \right) |dt+\int_{x}^1{\left( t-x \right) dt}}=x^2-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1-x^2}{2}-x\left( 1-x\right) =x^2-x+\dfrac{1}{2}

f^{'}\left(x \right) =2x-1

，则函数的驻点为

x=\dfrac{1}{2}

，则可以

f\left( x\right)

在

\left( 0,\dfrac{1}{2} \right)

上单调递减，在

\left( \dfrac{1}{2},1 \right)

上单调递增

f\left( x \right) _{\min}=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\left( \dfrac{1}{2} \right) ^2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}

f( x ) _{\max}=f\left( 0 \right) =f\left( 1 \right) =0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}

解题思路：首先对函数及逆行分段函数划分，首先找到分段的位置也就是函数的

与

的大小关系，然后进行函数的化简，后面函数进行整理就可以得出函数的表达式，再对函数求导，找到驻点，后面进行函数的单调性，得到函数的最大最小值。

作者：小熊

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-12-07，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度