考研（大学）数学导数与微分（9）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:29:13

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导数与微分（9）

基础

设

0< a <1

，证明：方程

\arctan x=ax

在

\left( 0,+\infty \right)

内有且仅有一个实根.

解：令

G\left( x \right) =\arctan x-ax

，

G^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{1+x^2}-a=\dfrac{1-a-ax^2}{1+x^2}=0

，显然

x=\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}

，即

G\left( x \right)

在

\left( 0,\sqrt{\dfrac{1-a}{a}} \right)

上单调递减，在

\left( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}}，+\infty \right)

上单增，

G^{''}\left( x \right) < 0

，

x=\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}

是函数的极大值，

G\left( 0 \right) =0

，

G\left( +\infty \right) =-\infty

，根据零点定理，函数必有零点。且零点位于

\left( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}},+\infty \right)

解题思路：构造函数，函数导数的应用，单调性，极值以及零点定理。

求曲线

y=f\left( x \right) =\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}e^{\dfrac{1}{x}}

的渐近线.

解：

x=0,\pm 1

是铅直渐近线的怀疑点，

\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{\left( x+2 \right) \left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)}e^{\frac{1}{x}}=\dfrac{3}{2}e

，即

x=1

不是铅直渐近线，

\underset{x\rightarrow -1}{\lim}\dfrac{\left( x+2 \right) \left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)}e^{\frac{1}{x}}=-\infty

，即

x=-1

是铅直渐近线，

\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}f\left( x \right) =+\infty

，即

x=0

是铅直渐近线，

\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f\left( x \right) =1

，即

x=1

是

f\left( x \right)

的水平渐近线。

解题思路：水平、铅直渐进线的定义，其次转化为极限的计算。

求曲线

y=\left( 2x-1 \right) e^{\dfrac{1}{x}}

的斜渐近线.

解：设斜渐近线为

y=kx+b

，

k=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{y}{x}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{2x-1}{x}e^{\dfrac{1}{x}}=2

，

b=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}y-kx=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\left( 2x-1 \right) e^{\frac{1}{x}}-2x=\underset{x\rightarrow \infty}{2x\lim}\left( e^{\dfrac{1}{x}}-1 \right) -\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}e^{\dfrac{1}{x}}=2\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}-1}{\dfrac{1}{x}}-1=2-1=1

即斜渐近线为

y=2x+1

解题思路：首先斜渐近线的定义，其次极限的计算。

作者：小熊

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