考研（大学）数学不定积分（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:29:42

6110

发布于 2022-11-23 16:29:42

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

不定积分（1）

基础

计算下列不定积分（1）

\displaystyle \int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}dx

；（2）

\displaystyle \int{\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}}dx

；（3）

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}}dx

；（4）

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}}dx

解：（1）

\begin{align*}\text{原式}&=\displaystyle \int{\frac{x^2-1+1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=-\int{\sqrt{1-x^2}}dx+\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\left( x=\sin t \right) \\&=-\int{\cos ^2t}dt+\arcsin x+C=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t+\arcsin x+C\\&=-\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x+C=\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+C\end{align*}

（2）

\begin{align*} \text{原式}&=\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}d\left( x^2 \right) \left[ x^2=t \right] =\frac{1}{2}\int{\frac{t}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{2}\int{\frac{t-1+1}{\sqrt{1-t}}dt}}\\&=-\frac{1}{2}\int{\sqrt{1-t}}dt+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-t}}}dt=\frac{1}{3}\left( 1-t \right) ^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1-t}+C\\&=\frac{1}{3}\left( 1-x^2 \right) ^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1-x^2}+C\end{align*}

（3）

x=\sin t

，

\displaystyle \text{原式}=\int{\frac{\cos t}{\sin t\cos t}}dt=\int{\csc tdt=\ln\text{|}\csc t-\cot t|+C=\ln\text{|}\frac{1}{x}}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}|+C

（4）

x=\tan t

，

\displaystyle \text{原式}=\int{\frac{\sec ^2t}{\tan t\sec t}dt=\int{\frac{1}{\sin t}dt=\ln\text{|}\csc t-\cot t|}+C=\ln\text{|}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}-\frac{1}{x}|+C

解题思路：综合利用加项减项以及凑微分，后面就是三角换元的常用方式。

计算下列不定积分（1）

\displaystyle \int x\arcsin xdx

；（2）

\displaystyle \int{\frac{x^2}{1+x^2}}\arctan xdx

解：（1）

\displaystyle \text{原式}=\frac{1}{2}\int{\arcsin xd\left( x^2 \right)}=\frac{1}{2}x^2\arcsin x+\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\frac{\left( 2x^2-1 \right)}{4}\arcsin x+\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+C

（2）

\begin{align*}\displaystyle \text{原式}&=\int{\left( 1-\frac{1}{1+x^2} \right)}\arctan xdx=\int{\arctan xdx-\int{\arctan xd\left( \arctan x \right)}}=x\arctan x-\int{\frac{x}{1+x^2}}dx-\frac{1}{2}\arctan x\\&=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^2 \right) -\frac{1}{2}\arctan x+C\end{align*}

解题思路：分部积分以及凑微分。

提高

设

f\left( \sin ^2x \right) =\dfrac{x}{\sin x}

，求

\displaystyle \int{\frac{f\left( x \right)}{\sqrt{1-x}}}dx

解：

\sin x=t

，

f\left( t^2 \right) =\dfrac{\arcsin t}{t}

，则

f\left( x \right) =\dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

，所以原式

\displaystyle =\int{\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}}dx=2\int{\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-\left( \sqrt{x} \right) ^2}}}d\left( \sqrt{x} \right)=\arcsin ^2\sqrt{x}+C

解题思路：换元法求函数表达式，后面凑微分。

设

f\left( \ln x \right) =\dfrac{\ln \left( 1+x \right)}{x}

，求

\displaystyle \int f\left( x \right) dx

解：

\ln x=t

，则

f\left( t \right) =\dfrac{\ln \left( 1+e^t \right)}{e^t}

，原式

\begin{align*}&=\int{\frac{\ln \left( 1+e^x \right)}{e^x}}dx=-\int{\ln \left( 1+e^x \right)}d\left( e^{-x} \right) \\&=-e^{-x}\ln \left( 1+e^x \right) +\int{\frac{e^{-x}}{1+e^x}}dx=-e^{-x}\ln \left( 1+e^x \right) -\int{\frac{1}{1+e^{-x}}}d\left( 1+e^{-x} \right) \\&=-e^{-x}\ln \left( 1+e^x \right) -\ln \left( 1+e^{-x} \right) +C\end{align*}

解题思路：换元法求原函数，分部积分，以及凑微分。

作者：小熊

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-12-11，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

基础

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

基础

登录后参与评论

0 条评论

热度