考研（大学）数学积分（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:30:30

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积分（3）

基础

求

\displaystyle \int{\sqrt{e^x-1}}dx

解：令

\sqrt{e^x-1}=t

，

x=\ln \left( 1+t^2 \right)

，原式

\begin{align*}&=\int{td\left( \ln \left( 1+t^2 \right) \right)}=\int{t\cdot \frac{2t}{1+t^2}}dt=\int{\frac{2t^2+2-2}{1+t^2}}dt=2\int{dt-2\int{\frac{1}{1+t^2}}}dt\\&=2t-2\arctan t+C\left( \text{还原} \right) =2\sqrt{e^x-1}-2\arctan \sqrt{e^x-1}+C\end{align*}

解题思路：换元法，凑微分，以及加项减项。

求

\displaystyle \int{\frac{2x^3+4x+1}{x^2+x+1}}dx

解：

\dfrac{2x^3+4x+1}{x^2+x+1}=2x-2+\dfrac{4x+3}{x^2+x+1}

，原式

\displaystyle =\int{\left( 2x-2+\frac{4x+3}{x^2+x+1} \right)}dx=x^2-2x+\int{\frac{2\left( 2x+1 \right) +1}{x^2+x+1}}dx

\begin{align*}\int{\frac{2\left( 2x+1 \right) +1}{x^2+x+1}}dx&=2\int{\frac{1}{x^2+x+1}}d\left( x^2+x+1 \right) +\int{\frac{1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2+\left( x+\frac{1}{2} \right) ^2}}d\left( x+\frac{1}{2} \right)\\&=2\ln \left( x^2+x+1 \right) +\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C\end{align*}

原式

=x^2-2x+2\ln \left( x^2+x+1 \right) +\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+C

解题思路：假分式的拆分，以及凑微分。

提高

设

f\left( x \right)

满足

\Delta y=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\Delta x+o\left( \Delta x \right)

，且

f\left( 1 \right) =4

，求

\displaystyle \int_0^1{f\left( x \right) dx}

。

解：由题意知，

y^{'}=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}

，

\displaystyle y=\int{\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}}dx=\int{\frac{1}{2\sqrt{2x-x^2}}}d\left( 2x-x^2 \right)=\sqrt{2x-x^2}+C

，

y\left( 1 \right) =1

，则

C=0

，所以

y\left( x \right) =\sqrt{2x-x^2}

，

\displaystyle \int_0^1{y\left( x \right) dx=\int_0^1{\sqrt{2x-x^2}dx}}=\int_0^1{\sqrt{1-\left( x-1 \right) ^2}}d\left( x-1 \right) =\frac{\pi}{4}\left( \text{几何意义} \right)

解题思路：凑微分，换元以及定积分的几何意义。

作者：小熊

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