考研（大学）数学积分（4）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:30:57

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

积分（5）

基础

设

f\left( x \right)

连续，且

\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( x \right)}{x}=2

，求

\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\displaystyle\int_0^x{f\left( x-t \right) dt}}{x-\ln \left( 1+x \right)}

解：令

x-t=m

，

\displaystyle \int_0^x{f\left( x-t \right) dt}=\int_0^t f\left( m \right) dm

，原式

=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f\left( m \right)}{1-\dfrac{1}{1+x}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f\left( x \right)}{x}\cdot \left( 1+x \right) =2

解题思路：换元，洛必达法则。

求下列三个极限（1）

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{n+n} \right)

（2）

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left( \dfrac{1}{n^2+1^2}+\dfrac{2}{n^2+2^2}+\cdots +\dfrac{n}{n^2+n^2} \right)

（3）

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{n^2}\left( \sin ^2\dfrac{\pi}{n}+2\sin ^2\dfrac{2\pi}{n}+\cdots +n\sin ^2\dfrac{n\pi}{n} \right)

解：（1）

\begin{align*}\text{原式}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n}\left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\cdots +\frac{1}{1+\frac{n}{n}} \right)=\int_0^1{\frac{1}{1+x}}dx=\ln \left( 1+x \right) \bigg|_{0}^{1}=\ln 2\end{align*}

（2）

\begin{align*}\text{原式}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n}\left( \frac{\frac{1}{n}}{1+\left( \frac{1}{n} \right) ^2}+\frac{\frac{2}{n}}{1+\left( \frac{2}{n} \right) ^2}+\cdots +\frac{\frac{n}{n}}{1+\left( \frac{n}{n} \right) ^2} \right)=\int_0^1{\frac{x}{1+x^2}}dx=\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^2 \right) \bigg|_{0}^{1}=\frac{\ln 2}{2}\end{align*}

（3）

\begin{align*}\text{原式}&=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n}\left( \frac{1}{n}\sin ^2\frac{\pi}{n}+\frac{2}{n}\sin ^2\frac{2\pi}{n}+\cdots +\frac{n\sin ^2\frac{n\pi}{n}}{n} \right)=\int_0^1{x\sin ^2}x\pi dx=\int_0^1{x\left( \frac{1-\cos 2\pi x}{2} \right)}dx\\&==\int_0^1{\frac{1}{2}xdx-\frac{1}{4\pi}\int_0^1{xd\left( \sin 2\pi x \right)}}\frac{1}{4}-\frac{1}{4\pi}x\sin \pi x\bigg|_{0}^{1}-\frac{1}{2\pi}\cos 2\pi x\bigg|_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}\end{align*}

解题思路：凑定积分的定义，分部积分。

提高

设

\displaystyle f\left( x \right) =\int_0^x e^{\cos t}dt

，求

\displaystyle \int_0^{\pi}f\left( x \right) \cos xdx

解：

f^{'}\left( x \right) =e^{\cos x}

，原式

\begin{align*}&=\int_0^{\pi}{f\left( x \right)}d\sin x=f\left( x \right) \sin x\bigg|_{0}^{\pi}-\int_0^{\pi}{\sin xd\left( f\left( x \right) \right)}\\&=-\int_0^{\pi}{\sin xe^{\cos x}}dx=\int_0^{\pi}{e^{\cos x}d\cos x=e^{\cos x}\bigg|_{0}^{\pi}}=\frac{1}{e}-e\end{align*}

解题思路：含参数求导，凑微分以及分部积分。

求

\displaystyle \int_0^2{\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}}\sqrt[n]{x^n+x^{2n}}dx

解：当

x\in \left[0,1\right]

时，

x^2 < x

，则

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{x^n+x^{2n}}=x

，同理当

x\in \left[ 1,2 \right]

时，则

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{x^n+x^{2n}}=x^2

；所以原式

\displaystyle =\int_0^1{xdx+\int_1^2{x^2dx=\frac{1}{2}x^2}\bigg|_{0}^{1}+\frac{1}{3}x^3}\bigg|_{1}^{2}=\frac{1}{2}+\frac{7}{3}=\frac{17}{6}

解题思路：极限夹逼准则（迫敛定理），定积分的区间拆分，计算

作者：小熊

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原始发表：2021-12-15，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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