考研（大学）数学积分（6）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:31:47

3660

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

积分（6）

基础

（1）设

f\left( x \right)

在

\left[ 0,1 \right]

上连续，证明：

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( \sin x \right) dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( \cos x \right)}}dx

，并求

\displaystyle I=\int_0^1{\frac{x^2}{x+\sqrt{1-x^2}}}dx

；（2）计算

\displaystyle \int_0^{\pi}{x\sin ^2x}dx

解：（1）令

x+t=\dfrac{\pi}{2}

，

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( \cos x \right) dx=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0{f\left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-t \right) \right)}}d\left( \frac{\pi}{2}-t \right)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( \cos t \right)}dt

，根据积分与积分变量无关，则得证

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( \sin x \right) dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( \cos x \right)}}dx

；令

x=\sin t

，

\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin ^2t\cos t}{\sin t+\cos t}}dt

，由前面证明可知

\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin ^2t\cos t}{\sin t+\cos t}dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos ^2t\sin t}{\cos t+\sin t}dt

，

\displaystyle 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\sin ^2t\cot}{\sin t+\cos t}+\frac{\cos ^2t\sin t}{\cos t+\sin t} )dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos tdt=\frac{1}{2}

，则

I=\dfrac{1}{4}

（2）原式

\displaystyle =\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}{\sin ^2xdx=\frac{\pi}{2}\cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^2xdx=\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}}}=\frac{\pi ^2}{4}

解题思路：（1）区间再现，换元法，利用结论。（2）三件函数的性质，区间再现，以及点火公式。

设

f\left( x \right)

在

\left[ a,b \right]

上连续，证明：

\displaystyle \int_a^b{f\left( x \right)}dx=\int_a^b{f\left( a+b-x \right)}dx

解：令

a+b-x=t,x\in \left[ a,b \right]

，则

t\in \left[ b,a \right]

，

\displaystyle\int_a^b{f\left( a+b-x \right)}dx=\int_b^a{f\left( t \right)}d\left( a+b-t \right) =-\int_b^a{f\left( t \right)}dt=\int_a^bf\left( t \right) dt

，积分与变量无关，得证。

解题思路：换元法，区间再现。

提高

设

f\left( x \right)

在

\left[ 0,1 \right]

上连续，

f\left( 0 \right) =0

。证明：存在

\xi \in \left( 0,1 \right)

，使得

\displaystyle \int_0^{\xi}{f\left( x \right) dx}=\xi f\left( \xi \right)

解：构造函数

G(x)=\begin{cases}\displaystyle \dfrac{\int_0^x f\left( x \right) dx}{x}&0 < x \le 1\\0&x=0\end{cases}

可知

f\left( x \right)

在

\left[ 0,1 \right]

上连续，所以

G\left( x \right)

也是连续的，

G\left( x \right)

在

\left( 0,1 \right)

内可导，

G\left( 0 \right) =0

，

\displaystyle G\left( 1 \right) =\int_0^1 f\left( x \right) dx=0

，根据罗尔定理得，存在一点

\xi \in \left( 0,1 \right)

，使得

G^{'}\left( x \right) =0

，

\displaystyle G^{'}\left( x \right) =\frac{\int_0^x{f\left( x \right) dx-xf\left( x \right)}}{x^2}

，故

\displaystyle \int_0^{\xi}{f\left( x \right) dx}=\xi f\left( \xi \right)

解题思路：构造函数，罗尔定理，分式求导。

设

f\left( x \right)

在

\left( -a,a \right) \left( a > 0 \right)

内连续，且

f^{'}\left( 0 \right) =2

。（1）证明：对于

0 < x < a

，存在

0 < \theta <1

，使得

\displaystyle \int_0^x{f\left( t \right) dt+\int_0^{-x}{f\left( t \right)}}dt=x\left[ f\left( \theta x \right) -f\left( -\theta x \right) \right]

；（2）求

\underset{n\rightarrow 0^+}{\lim}\theta

解：（1）构造函数

\displaystyle F\left( x \right) =\int_0^x{f\left( t \right) dt+\int_0^{-x}{f\left( t \right)}}dt

，由微分中值定理得，存在

\theta \in \left( 0,1 \right)

使得

F\left( x \right) -F\left( 0 \right) =F^{'}\left( \theta x \right) x

，显然

F\left( 0 \right) =0

，

F^{'}\left( x \right) =f\left( x \right) -f\left( -x \right)

，则

F\left( x \right) =x\left[ f\left( \theta x \right) -f\left( -\theta x \right) \right]

（2）令

\underset{n\rightarrow 0^+}{\lim}\theta =A

，根据第一问求得，

\displaystyle \int_0^x{f\left( t \right) dt+\int_0^{-x}{f\left( t \right)}}dt=x\left[ f\left( \theta x \right) -f\left( -\theta x \right) \right]

两边取极限，

\displaystyle \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{\int_0^x{f\left( t \right) dt+\int_0^{-x}{f\left( t \right) dt}}}{x^2}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{f\left( \theta x \right) -f\left( -\theta x \right)}{x}

左边原式

=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{f\left( x \right) -f\left( -x \right)}{2x}=\dfrac{1}{2}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\left[ \dfrac{f\left( x \right) -f\left( 0 \right)}{x}+\dfrac{f\left( -x \right) -f\left( 0 \right)}{-x} \right]=f^{'}\left( 0 \right) =2

，右边原式

=\theta \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\left[ \dfrac{f\left( \theta x \right) -f\left( 0 \right)}{\theta x}+\dfrac{f\left( -\theta x \right) -f\left( 0 \right)}{-\theta x} \right] =4A

，联立，所以

\underset{n\rightarrow 0^+}{\lim}\theta =\dfrac{1}{2}

解题思路：（1）构造函数，罗尔定理。（2）根据条件求极限，导数的定义。

作者：小熊

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原始发表：2021-12-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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