考研（大学）数学多元函数微分学（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:33:15

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多元函数微分学（1）

多元微分学的基本概念

基本知识 多元函数的基本理论：1.连续有界的函数的最值定理，有界定理，介值定理2. 连续，可导，以及可微的关系

1.设

f(x)=\sin\sqrt{x^2+y^4}

，判断

f(x,y)

在

(0,0)

处的可导性和可微性。

解 :首先

f(x,y)

是连续的，这个是明显可以看出的的。对于可微的判断，严格按照可导的定义来进行判断，

\displaystyle\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^4}}{x}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{|x|}{x}

不存在，同理对于

\displaystyle\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^4}}{y}=\underset{y\rightarrow 0}{\lim}\frac{y^2}{y}=0

存在，

f_y^{'}(0,0)

存在，但是

f_{x}^{'}(0,0)

不存在。解题思路 ：按照定义，其次就是注意等价无穷小。

2.设

\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt{x^4+y^2}}((x,y)\neq(0,0))

，

\displaystyle f(x,y)=0((x,y)=(0,0))

，说明

f(x,y)

在

(0,0)

的可导性以及可微性。

解：首先连续，取

y\rightarrow x^2

，

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x，y)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x,x^2)=\frac{1}{2}

；同理

y\rightarrow -x^2

，有

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x,y)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x,-x^2)=-\frac{1}{2}

对于可导性，

\displaystyle f_x^{'}(0,0)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\dfrac{x^2y}{x^4}}{x}=0

，

\displaystyle f_{y}^{'}(0,0)=\underset{y\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\dfrac{x^2y}{y^2}}{y}=0

，所以可导。

作者：小熊

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