考研（大学）数学多元函数微分学（4）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:34:50

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发布于 2022-11-23 16:34:50

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

多元函数积分学（4）

1.方向导数以及梯度（1）二元函数的方向导数以及梯度（2）.三元函数的方向导数以及梯度 2.多元函数的几何应用（1）曲面的切平面以及法线（2）.曲线的切线以及法平面

1方向导数计算公式：设二元函数

f(x,y)

满足在某领域有定义，设在某点

M_{0}

存在方向导数假设某条射线的方向余弦分别为

\cos\alpha,\cos\beta

，则方向导数为

\displaystyle\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{M_{0}}=\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{M_{0}}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{M_{0}}\cos\beta

同理三元函数一样。

2.梯度定义：实质是函数在某点的偏导数构成的一个向量

1.求函数

u=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

沿

\dfrac{1}{2}x^2+yz

的梯度方向的方向导数

解：根据定义：

\dfrac{1}{2}x^2+yz

的梯度为

l=(x,y,z)

，则梯度方向的余弦为

\cos\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，

\cos\beta=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，

\cos\gamma=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，同时

\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，同理轮换一下，

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，则方向导数

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma=\frac{x^2+2yz}{x^2+y^2+z^2}

2.函数

z=x^2\cos y

在点

(1,\dfrac{\pi}{4})

，沿点

(1,\dfrac{\pi}{4})

到点

(2,\dfrac{\pi}{2})

为其方向，求沿这条射线的方向导数.

解：首先求这个方向的梯度，求其与射线等效的向量，

a=(1,\dfrac{\pi}{4})

，则方向余弦分别为

\displaystyle\cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{1^2+(\frac{\pi}{4})^2}}

，

\displaystyle\cos\beta=\frac{\frac{\pi}{4}}{\sqrt{1^2+(\frac{\pi}{4})^2}}

，同时

\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x\cos y

，

\dfrac{\partial z}{\partial y}=-x^2\sin y

，则方向导数为

\begin{align*}\displaystyle\frac{\partial z}{\partial l}\bigg|_{(1,\frac{\pi}{4})}&=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta\\&=\sqrt{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{16+\pi^2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{16+\pi^2}\\&=\frac{4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}{\sqrt{16+\pi^2}}\end{align*}

2.几何应用（1）曲面的切平面以及法线（2）曲线的切线以及法平面（本质就是空间向量与求偏导的应用）

3.求曲面

z=1-x^2-y^2

上与平面

\displaystyle x+y-z+3=0

平行的切平面

解：首先可以设切点为

\displaystyle (x_{0},y_{0},1-x_{0}^{2}-y_{0}^{2})

，则可以得到

\displaystyle n=\pm(2x,2y,1)//(1,1,-1)

，由定义解出切点，解得切点坐标为

\displaystyle(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})

，切平面方程为

\displaystyle \pi:-(x+\frac{1}{2})-(y+\frac{1}{2})+(z-\frac{1}{2})=0

，化简得

\pi:2x+2y-2z+3=0

4.已知曲线

由两个方程确定

x^2+y^2+z^2=3,2x-y+z=1

，求曲线在

(1,1,0)

处的切线和法平面.

解：可以构造

F=x^2+2y^2-z^2-3

，

G=2x-y+z-1

，设

F,G

的切向量分别为

s,t

\displaystyle s=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})=(2,4,0)

，同理

\displaystyle t=(\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y},\frac{\partial G}{\partial z})=(2,-1,1)

，则曲线的切向量为

n=s\times t=(2,4,0)\times(2,-1,1)=2(2,-1,-5)

，则切线为

\displaystyle l:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-0}{-5}

，同理法平面为

\pi:2(x-1)-(y-1)-5(z-0)=0

，整理得

\pi:2x-y-5z-1=0

作者：小熊

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原始发表：2021-12-23，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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