大学生数学竞赛非数专题一（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:37:23

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专题一函数与极限 (3)

1.2 竞赛题精彩讲解

1.2.3 利用夹逼准则和单调有界准则求极限

例1.9（江苏省2006年竞赛题）求

\displaystyle\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}(\frac{1^2}{n^3+1^2}+\frac{1^2}{n^3+2^2}+\dotsb+\frac{n^2}{n^3+1^2})

解：根据夹逼准则，首先令

\displaystyle x_n=\frac{1^2}{n^3+1^2}+\frac{1^2}{n^3+2^2}+\dotsb+\frac{n^2}{n^3+1^2}

放大缩小，可得

\displaystyle\frac{1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2}{n^3+n^2}\leq x_n\leq \frac{1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2}{n^3+1}

而

\displaystyle1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

所以不等式左边

\displaystyle\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1^2+2^2+\dotsb+n^2}{n^3+1}=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^3+1}=\frac{1}{3}

同理对于右边

\displaystyle\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1^2+2^2+\dotsb+n^2}{n^3+n^2}=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^3+n^2}=\frac{1}{3}

所以由夹逼准则，有原式

=\dfrac{1}{3}

例1.10 （南京大学1995年竞赛题）求

\displaystyle\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}x[\frac{1}{x}]

解：首先根据不等式，

\displaystyle[\frac{1}{x}]\leq\frac{1}{x} \leq [\frac{1}{x}]+1

，当

x>0

时，

\displaystyle x[\frac{1}{x}] \leq 1 \leq x[\frac{1}{x}]+x

，再取极限，左边得

\displaystyle\underset{x\rightarrow0^+}{\lim}x[\frac{1}{x}]\leq 1

，同理右边得

\displaystyle\underset{x\rightarrow0^+}{\lim}x[\frac{1}{x}]\geq 1

，所以得

\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}x[\frac{1}{x}]=1

；当

x < 0

时, 同理，

\displaystyle x[\frac{1}{x}]+x < 1\leq x[\frac{1}{x}]

，取极限，左边不等式得

\displaystyle\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}x[\frac{1}{x}]\leq 1

，同理得右边，

\displaystyle\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}x[\frac{1}{x}]\geq1

，所以得

\displaystyle\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}x[\frac{1}{x}]=1

。因此

\displaystyle\underset{x\rightarrow0}{\lim}x[\frac{1}{x}]=1

。

例1.11 （南京工业大学2009年竞赛题）求

\displaystyle\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1!+2!+3!+\dotsb+n!}{n!}

解：原式

\displaystyle=1+\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1!+2!+\dotsb+(n-1)!}{n!}

，对于后面这一块，

\displaystyle 0 < \dfrac{1!+2!+\dotsb+(n-1)!}{n!}=\dfrac{1!+2!+\dotsb+(n-2)!+(n-1)!}{n!} < \dfrac{(n-2)(n-2)!+(n-1)!}{n!} < \dfrac{2(n-1)!}{n!}=\dfrac{2}{n}

取极限，

\displaystyle\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{2}{n}=0

,所以根据夹逼准则，有

\displaystyle\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1!+2!+3!+\dotsb+(n-1)!}{n!}=0

，则原式

=0+1=1

1.12 (浙江省2007年数学竞赛题) 求

\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)(nC_n^{k})^{-1}

解：首先对式子进行处理，

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)(nC_n^{k})^{-1}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}[\dfrac{2!}{n}+\dfrac{3!}{n(n-1)}+\dotsb+\dfrac{(n-1)!}{n(n-1)\dotsb 3}+\dfrac{n!}{n!}]

用式子

\displaystyle x_n=\frac{2!}{n}+\frac{3!}{n(n-1)}+\dotsb+\frac{(n-1)!}{n(n-1)\dotsb 3}+\frac{n!}{n!}

\displaystyle x_{2n}=\dfrac{2!}{n}+\dfrac{3!}{2n(2n-1)}+\dotsb+\dfrac{n!}{2n(2n-1)(2n-2)\dotsb 3}+1

而

\displaystyle\frac{k!}{2n(2n-1)\dotsb(2n-k+2)}=\frac{(2n+1-k)!}{2n(2n-1)\dotsb(k+1)} (2\leq k \leq n)

，所以

\displaystyle x_{2n}=2(\frac{2!}{2n}+\frac{3!}{2n(2n-1)}+\dotsb+\frac{n!}{2n(2n-1)\dotsb(n+2)})+1

，当

2 \leq k \leq n

时，

\displaystyle\frac{k!}{2n(2n-1)\dotsb(2n-k+2)} \geq \frac{(k+1)!}{2n(2n-1)\dotsb(2n-k+3)}\Longleftrightarrow1>\frac{k+1}{2n-k+1}\Longleftrightarrow k

所以

\displaystyle x_{2n}<2(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\dotsb+\dfrac{1}{n})+1=\dfrac{2(n-1)}{n}+1<3

而

\begin{align*}x_{2n+1}&=\dfrac{2!}{2n+1}+\dfrac{3!}{(2n+1)2n}+\dotsb+\dfrac{n!}{(2n+1)2n\dotsb(n+3)}+\dfrac{(n+1)!}{(2n+1)2n\dotsb(n+2)}\\&+\dfrac{(n+2)!}{(2n+1)2n\dotsb(n+1)}+\dotsb+\dfrac{(2n)!}{(2n+1)2n\dotsb3}+1\end{align*}

同理同上面

\displaystyle\frac{k!}{(2n+1)2n\dotsb(2n-k+3)}=\frac{(2n-k+2)!}{(2n+1)2n\dotsb(k+1)}（2\leq k\leq n）

所以

x_{2n-1}=2(\dfrac{2!}{2n+1}+\dfrac{3!}{(2n+1)2n}+\dotsb+\dfrac{n!}{(2n+1)2n\dotsb(n+3)})+\dfrac{(n+1)!}{(2n+1)2n\dotsb(n+2)}+1

当

2\leq k \leq n

时，

\displaystyle\frac{k!}{(2n+1)2n\dotsb(2n-k+3)}>\frac{(k+1)!}{(2n+1)2n\dotsb(2n-k+2)}\Longleftrightarrow1>\frac{k+1}{2n-k+2} \Longleftrightarrow2k<2n+1

所以

\displaystyle x_{2n+1}<2(\frac{2}{2n+1}+\frac{2}{2n+1}+\dotsb+\frac{2}{2n+1})+\frac{2}{2n+1}+1=\frac{4n-2}{2n+1}+1<3

所以对于

n\in{2,3,\dotsb,}

,均有

0 < x_n< 3

，则

\displaystyle0 < \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)(nC_{n}^{k})^{-1}=\frac{1}{n}+\frac{x_n}{n} < \frac{1}{n}+\frac{3}{n}=\frac{4}{n}

应用夹逼准则得

\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)(nC_n^{k})^{-1}=0

例1.13 （江苏省2008年数学竞赛题）设数列

{x_n}

为

x_1=1

，

x_{n+1}=\sqrt{x_n+6}(n=1,2,\dotsb)

，求证数列

{x_n}

收敛，并求其极限。

解：首先

x_2=\sqrt{x_1+6}=\sqrt{7}>1

，归纳假设

\begin{align*}0 < x_{n-1} < x_n&\Longrightarrow 0 < 6+x_{n-1} < 6+x_n\&\Longrightarrow x_n=\sqrt{6+x_{n-1}} < \sqrt{6+x_n}=x_{n+1}\end{align*}

所以得到数列

{x_n}

单调递增，假设，

x_1<3

,归纳假设得到

x_n<3\Longrightarrow x_{n+1}=\sqrt{6+x_n} < \sqrt{6+3}=3

,即得证

{x_n}

有上界

,根据单调有界准则得

{x_n}

收敛,且

\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=3

例1.14 （莫斯科动力学院1975年竞赛题）设

x_1=b,x_{n+1}=x_n^2+(1-2a)x_n+a^2(n\geq 1)

，请问当a,b满足什么条件时，数列

{x_n}

收敛？并求

\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n

解：首先对式子进行处理，

x_{n+1}=x_n+(x_n-a)^2

,可以得

x_{n+1}\geq x_n

，即可以证明

{x_n}

单增，假设

x_n

收敛，令

x_n\longrightarrow A

,得

A=a

。根据

x_n^2+(1-2a)x_n+a^2\leq a\Longrightarrow a-1\leq x_n \leq a

,即

a-1\leq b \leq a

；反之，设

a-1\leq b \leq a

，则有

x_{n+1}\geq x_n\geq a-1

，

x_{n+1}=x_n+(x_n-a)^2\leq x_n+a-x_n=a

,即

{x_n}

有上界，且单调递增。所以

a-1\leq b\leq a

,且

\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=a

有问题的可以找小编，前面四个题目均是应用夹逼定理来做题，后面两个是关于单调有界来做题。

作者：小熊

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原始发表：2021-11-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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