大学生数学竞赛非数专题一（5）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:39:58

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专题一函数与极限 (5)

1.2.5 利用等价无穷小因子

几个常见的等价无穷小 常见的几个：

\Delta\rightarrow 0,\Delta -\sin\Delta-\arcsin \Delta-\tan\Delta-\arctan\Delta-\ln(1+\Delta)-e^{\Delta}-1

(1+\Delta)^{\lambda}-1-\lambda \Delta,1-\cos\Delta-\dfrac{1}{2}\Delta^{2}

例1.19 （莫斯科高等技术学校1977年竞赛题）设

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{n^{1976}}{n^{x}(1-(1-\frac{1}{n})^{x})}=\frac{1}{1977}

，求

解：根据

n\rightarrow \infty

，有

\displaystyle1-(1-\frac{1}{n})^{x}-\frac{x}{n}

，所以

\displaystyle=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{n^{1976}}{n^x\dfrac{x}{n}}=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{n^{1976}}{xn^{x-1}}=\frac{1}{1977}

根据极限存在的性质，得到

x=1977

例1.20 （北京市1996竞赛题）已知

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\ln(1+\dfrac{f(x)}{\sin2x})}{3^x-1}=5

，求

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x^2}

解：当

x\rightarrow 0

，有

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\ln(1+\frac{f(x)}{\sin2x})-\frac{f(x)}{\sin2x}

，

3^x-1-x\ln3

，所以原式

\displaystyle=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x\sin2x\ln3}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x^2}\times\frac{1}{2\ln3}=5

所以

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x^2}=10\ln3

。

例1.21 （江苏省1998年竞赛题）求

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{\sqrt{1+x^2}-1}

解：根据有理化，原式

\begin{align*}\displaystyle=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{\sqrt{1+x^2}-1}&=\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2-4}{\frac{1}{2}x^2(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+2)^2}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{-\dfrac{1}{2}x^2}{x^2} =\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{2(\sqrt{1-x^2}-1)}{2x^2}\\&=-\frac{1}{2}\end{align*}

作者：小熊

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