知识点:
(1)几个常用的高阶导数公式
,
,
,
(2)参数式函数的二阶导数
(3)分段函数在分段点的二阶导数
(4)莱布尼茨公式:
假设函数
均n阶可导,则
例2.10 (江苏省2016年数学竞赛题) 设函数
,试求
解:令
,则
,应用莱布尼茨公式,得
,带入
,得
例2.11 (南京大学1995年竞赛题) 设
,求证:在
处,有
解:由于
存在,所以
在
处可导,则
在
处连续,令
,则
,
,则
同理令
,有
,
,由导数定义知
对比两个式子,可知得证。
例2.12 (江苏省1994年竞赛题) 设
求
的值 $$
解:根据导数的定义知,
当
时,
,利用定义得
例2.13 (全国大学生2009年预赛题) 设
由方程
确定,其中
具有二阶导数,且
,求
解:由等式知,显然
,对原等式两边同时取对数得
两边对
求导数知:
,对上式子(1)进行恒等变形,得:
,对式子(1)再进行求导,
,根据上式可以解出
,解得
的表达式为:
例2.14 (江苏省2000年竞赛题) 设
由方程组
确定,求
解:由方程组知
,
,
,所以知
,
,
设由
确定
,可知
对原式两边对
进行求导,
,令
可知,
,知
,再对式子(1)进行求导,
再令
,可得
,解得,
,根据参数方程二阶导数公式得:
例2.15 (江苏省1991年竞赛题) 设
,其中
均是正整数,求
的值
解:由于多项式展开,
,可以令
,
,由莱布尼茨公式知,
,
,所以
例2.16 (江苏省1994年竞赛题) 设
,求
解:由于
,令
,
,可知
,而
,由莱布尼茨公式得:
例2.17 (广东省1991年竞赛题) 设
,求
解:根据多项式的除法,知
由前面知:
,
,
,所以
,
例2.18 (浙江省2001年竞赛题) 设
,求
解:对
求一阶导。得
,
,变形得
,等式两边对
求
阶导,根据莱布尼茨公式得
令
,得
,前面知
,
,所以
,所以当
为偶数时,
;当
为奇数时,
今天的题目就到这里了,主要就是莱布尼茨公式的应用,注意两个函数的设法,一般利用函数点的值以及高阶导数区分;另外一个就是常见导数的公式,还有一个求参数方程的二阶导数公式,其他的二阶导数看是否连续,按照导数的定义做可以了。有问题留言!
作者:小熊