大学生数学竞赛非数专题二（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:45:59

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专题二一元微分学（3）

2 求高阶导数

知识点：

（1）几个常用的高阶导数公式

(\sin x)^n=\sin(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})

，

(\cos x)^n=\cos(x+n\cdot \dfrac{\pi}{2})

(\dfrac{1}{x})^n=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}

，

(\ln x)^{n+1}=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}

(x^n)^{(k)}=\dfrac{n!}{(n-k)!}x^{k+1}(1\leq k\leq n)

，

(x^{n})^{(k)}(k>n)

（2）参数式函数的二阶导数

（3）分段函数在分段点的二阶导数

（4）莱布尼茨公式：

假设函数

u,v

均n阶可导，则

(uv)^{n}=u^{(n)}v+C_{n}^{1}u^{n-1}v^{'}+\dotsb+C_{n}^{n-1}u^{'}v^{n-1}+uv^{n}

例2.10 （江苏省2016年数学竞赛题）设函数

f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^{3}(x-4)^{4}

，试求

f^{''}(2)

解：令

G(x)=(x-1)(x-3)^{3}(x-4)^{4}

，则

f(x)=(x-2)^2 G(x)

,应用莱布尼茨公式，得

f^{''}(x)=2 G(x)+4(x-2)G^{'}(x)+(x-2)^{2}G^{''}(x)

，带入

x=2

，得

f^{''}(2)=2G(x)=2(2-1)(2-3)^{3}(2-4)^{4}=-32

例2.11 （南京大学1995年竞赛题）设

f^{'}(0)=1,f^{''}(0)=0

,求证：在

x=0

处，有

\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(x^2)=\frac{d^2}{dx^2}f^2(x)

解：由于

f^{''}(0)=0

存在，所以

f^{'}(x)

在

x=0

处可导，则

f^{'}(x)

在

x=0

处连续，令

G(x)=f(x^2)

，则

G^{'}(x)=2xf^{'}(x^2)

，

G^{'}(0)=0

,则

\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(x^2)\bigg|_{x=0}=\frac{d}{dx}G^{'}(x)\bigg|_{x=0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{G^{'}(x)-G^{'}(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2xf^{'}(x)}{x}=2f^{'}(0)=0

同理令

F(x)=f^{2}(x)

,有

F^{2}(x)=2f^{'}(x)f(x)

，

F^{'}(0)=2f(0)f^{'}(0)=f(0)

，由导数定义知

\begin{align*}\displaystyle\frac{d^2}{dx}f^{2}(x)\bigg|_{x=0}&=\frac{d}{dx}F^{'}(x)\bigg|_{x=0}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{G^{'}(x)-G^{'}(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2f(x)f^{'}(x)-2f(0)}{x-0}\\&=2\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)f^{'}(x)-f(x)+f(x)-f(0)}{x}=2\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)(f^{'}(x)-f^{'}(0))}{x}+2\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}\\&=2f(0)f^{''}(0)+2f^{'}(0)=0+2=2\end{align*}

对比两个式子，可知得证。

例2.12 （江苏省1994年竞赛题）设

f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sin x}{x},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}

求

f^{''}(0)

的值 $$

解：根据导数的定义知，

\begin{align*}\displaystyle f^{'}(0)&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x-x}{x^2}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x-1}{2x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{2x}=0\end{align*}

当

x\neq 0

时，

\displaystyle f^{'}(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}

，利用定义得

\begin{align*}\displaystyle f^{''}(0)&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^{'}(x)-f^{'}(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{3x^2}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{-x\sin x}{3x^2}\\&=-\frac{1}{3}\end{align*}

例2.13 （全国大学生2009年预赛题）设

y=y(x)

由方程

xe^{f(y)}=e^{y}\ln 29

确定，其中

具有二阶导数，且

f^{'}\neq 1

，求

\dfrac{d^2 y}{dx^2}

解：由等式知，显然

x > 0

，对原等式两边同时取对数得

\ln x+f(y)=y+\ln\ln 29

两边对

求导数知：

\displaystyle\frac{1}{x}+f^{'}(y)y^{'}=y^{'} \qquad(1)

，对上式子(1)进行恒等变形，得：

\displaystyle y^{'}=\frac{1}{x(1-f^{'}(y))}

，对式子(1)再进行求导，

\displaystyle-\frac{1}{x^2}+f^{''}(y)(y^{'})^{2}+f^{'}(y)y^{''}=y^{''}

,根据上式可以解出

y^{''}

，解得

y^{''}

的表达式为：

\begin{align*}\displaystyle y^{''}&=\dfrac{-\dfrac{1}{x^2}+f^{''}(y)(y^{'})^2}{1-f^{'}(y)}=\dfrac{-\dfrac{1}{x^2}+f^{''}(y)\dfrac{1}{x^2[(1-f^{'}(y))]^2}}{1-f^{'}(y)}\\&=\dfrac{f^{''}(y)-[1-f^{'}(y)]^2}{x^2[1-f^{'}(y)]^2}\end{align*}

例2.14 （江苏省2000年竞赛题）设

y=y(x)

由方程组

\begin{cases}x+t(1-t)=0 \\te^y+y+1=0 \end{cases}

确定，求

\dfrac{d^2 y}{d^2 x}\bigg|_{x=0}

解：由方程组知

x=t^2-t

，

x^{'}(t)=2t

，

x^{''}(t)=2

，所以知

x^{'}(0)=-1

，

x^{''}(0)=2

，

设由

te^{y}+y+1=0

确定

y=y(t)

，可知

y(0)=-1

对原式两边对

进行求导，

e^{y}+te^{y}y^{'}(t)+y^{'}(t)=0 \qquad(1)

，令

t=0

可知，

e^{-1}+y^{'}(0)=0

，知

y^{'}(0)=-\dfrac{1}{e}

，再对式子（1）进行求导，

2e^{y}y^{'}(t)+te^{y}(y^{'}(t))^2+te^{y}y^{''}(t)+y^{''}(t)=0

再令

t=0

，可得

2e^{-1}y^{'}(0)+y^{''}(0)=0

，解得,

y^{''}(0)=-\dfrac{2}{e^2}

，根据参数方程二阶导数公式得：

\begin{align*}\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=0}&=\dfrac{x^{'}(0)y^{''}(0)-y^{'}(0)x^{''}(0)}{(x^{'}(0))^2}\\&=\frac{-\dfrac{2}{e^2}+\dfrac{2}{e}}{-1}=\dfrac{2}{e^2}-\dfrac{2}{e}\end{align*}

例2.15 （江苏省1991年竞赛题) 设

P(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}(1-x^m)^n

，其中

m,n

均是正整数，求

P(1)

的值

解：由于多项式展开，

(1-x^m)^n=(1-x)^n(1+x+x^2+\dotsb+x^{m-1})^n

,可以令

g(x)=(1-x)^n

，

h(x)=(1+x+x^2+\dotsb+x^{m-1})^n

，由莱布尼茨公式知，

g(1)=g^{'}(1)=\dotsb=g^{n-1}=0

，

g^{n}(1)=(-1)^n n!

，所以

P(1)=h^{n}(1)g(1)+nh^{n-1}(1)g^{'}(1)+\dotsb+h(1)g^{n}(1)=(-1)^n m^n n!

例2.16 （江苏省1994年竞赛题）设

\displaystyle f(x)=(x^2-3x+2)^{n}\cos \frac{\pi x^2}{16}

，求

f^{(n)}(2)

解：由于

(x^2-3x+2)^n=(x-1)^n(x-2)^n

，令

u(x)=(x-2)^n

，

v(x)=(x-1)^n\cos \dfrac{\pi x^2}{16}

，可知

u(2)=u^{'}(2)=\dotsb=u^{(n-1)}(0)=0

，而

u^{(n)}(2)=n!

，由莱布尼茨公式得：

\begin{align*}\displaystyle f^{(n)}(2)&=v(2)u^{(n)}(2)+nv^{'}(2)u^{(n-1)}(2)+\dotsb+v^{(n)}(2)u(2)\\&=v(2)u^{(n)}(2)=n!\cos \dfrac{4\pi}{16}=\dfrac{\sqrt{2}n!}{2}\end{align*}

例2.17 （广东省1991年竞赛题）设

f(x)=\dfrac{x^n}{x^2-1}(n=1,2,\dotsb)

，求

f^{(n)}(x)

解：根据多项式的除法，知

f(x)=\begin{cases}\displaystyle x^{n-2}+x^{n-1}+\dotsb+x+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}),n\text{为奇数} \\\displaystyle x^{n-2}+x^{n-1}+\dotsb+x^2+1+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}),n\text{为偶数}\end{cases}

由前面知：

(x^{k})^{(n)}=0(k < n)

，

(\dfrac{1}{x-1})^{(n)}=(-1)^{n}\dfrac{n!}{(x-1)^{n+1}}

，

(\dfrac{1}{x+1})^{(n)}=(-1)^{n}\dfrac{n!}{(x+1)^{n+1}}

，所以

\displaystyle f^{n}(x)=\frac{n!}{2}\left[\frac{(-1)^n}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right]

，

n=1,2,3,\dotsb

例2.18 （浙江省2001年竞赛题）设

f(x)=\arctan\dfrac{1-x}{1+x}

，求

f^{(n)}(0)

解：对

f(x)

求一阶导。得

\displaystyle f^{'}(x)=\dfrac{1}{1+(\dfrac{1-x}{1+x})^2}

，

\displaystyle(\frac{1-x}{1+x})^{'}=-\frac{1}{1+x^2}

，变形得

(1+x^2)f^{'}(x)=-1

，等式两边对

求

n-1

阶导，根据莱布尼茨公式得

(1+x^2)f(^{(n)}x)+C_{n-1}^{1}2xf^{(n-1)}(x)+C_{n-1}^{2}2f^{(n-2)}(x)=0

令

x=0

，得

f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0)

，前面知

f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^2}

，

f^{''}(x)=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}

，所以

f^{'}(0)=-1,f^{''}(0)=0

，所以当

为偶数时，

f^{(n)}(0)=0

；当

为奇数时，

\displaystyle f^{(n)}(0)=(-1)(n-1)(n-2)f^{'}(0)=(-1)^{\frac{n+1}{2}}(n-1)!

今天的题目就到这里了，主要就是莱布尼茨公式的应用，注意两个函数的设法，一般利用函数点的值以及高阶导数区分；另外一个就是常见导数的公式，还有一个求参数方程的二阶导数公式，其他的二阶导数看是否连续，按照导数的定义做可以了。有问题留言！

作者：小熊

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原始发表：2021-12-04，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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