知识点:变限积分的几个公式
3.14 (南京大学1995年竞赛题) 求
.
解:根据积分的放缩,有
同理
因此有
,
,所以原式
.
解题技巧:综合利用放缩法(利用分母以及三角函数的有界性),以及积分的计算。
3.15 (江苏省1998年竞赛题) 已知
是以
为周期的连续函数,且
,
,求
.
解:先对函数进行区间拆分,有
再求导得
令
,根据周期以及初始值,带入得
解题技巧:带绝对值的定积分区间拆分,含参积分求导公式,以及定积分的周期性。
3.16 (浙江省2002年竞赛题) 设
连续,且当
时,有
,求
.
解:令
,显然
,带入原等式,
两边积分一下,左边有
右边得
根据初始值,得
,所以
解题技巧:利用不定积分的性质,构造微分方程,其次分部积分法。
作者:小熊