数学杂谈：限制条件下的均匀分布考察

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发布于 2022-11-29 17:56:48

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数学杂谈：限制条件下的均匀分布考察

1. 问题描述

假设

x_1, ..., x_n

均为

0 \sim 1

上的均匀分布，且满足限制条件：

x_1 + x_2 + ... + x_n = 1

求此时

x_i

的真实分布表达式。

2. 问题解答

1. 答案

限制条件下

的密度函数表达式如下：

f_n(x) = (n-1) \cdot (1-x)^{n-2}

2. 解析

我们可以快速地给出推导公式为：

f_n(x) = \frac{\int_{0}^{1-x}dt_1 \int_{0}^{1-x-t_1}dt_2 ... \int_{0}^{1-x-t_1-...-t_{n-3}}dt_{n-2}}{\int_{0}^{1}dt_1 \int_{0}^{1-t_1}dt_2 ... \int_{0}^{1-t_1-...-t_{n-2}}dt_{n-1}}

令

g_n(x) = \int_{0}^{1-x}dt_1 \int_{0}^{1-x-t_1}dt_2 ... \int_{0}^{1-x-t_1-...-t_{n-1}}dt_{n}

则我们有：

f_n(x) = g_{n-2}(x) / g_{n-1}(0)

而

g_{n}(x)

我们可以通过递归关系

g_n(x) = \int_{0}^{1-x} g_{n-1}(1-x-t_1) dt_1

快速计算得到：

g_n(x) = \frac{1}{n!}(1-x)^{n}

因此，我们即可解得：

f_n(x) = (n-1) \cdot (1-x)^{n-2}

特别地，积分即可快速得到，某一个元素要取值得到至少

\tau

的概率为：

P(x \geq \tau) = (1-\tau)^{n-1}

。

3. 蒙特卡洛模拟

如果我们要对上述结论进行验证，我们可以使用蒙特卡洛模拟来对上述结论进行验证。

我们直接给出代码如下：

import numpy as np
from random import random
from matplotlib import pyplot as plt

def monte_carlo_simulate(n=5, N=10000):
    s = []
    for _ in range(N):
        while True:
            tmp = [random() for _ in range(n-1)]
            if sum(tmp) <= 1:
                s.append(1 - sum(tmp))
                break
    return s

def show_simulate(n=5, N=10000):
    x = np.linspace(0, 1, num=100)
    y = (n-1) * np.pow(1-x, n-2)
    s = monte_carlo_simulate(n=n, N=N)
    plt.figure(figsize=(15, 7))
    plt.hist(s, bins=100, range=[0, 1], density=True)
    plt.plot(x, y)
    plt.show()
    return

show_simulate(n=5, N=10000)

可以看到：

进一步的，如果我们要快速地获取符合

分布的随机数，也只需要做如下构造即可：

import math
from random import random

def random(k=5):
    x = random()
    z = 1 - math.pow(z, 1/(k-1))
    return z

3. 离散情况延拓

下面，我们稍微拓展一下，如果

不连续，是离散的情况下，那么结果如何。

我们修改问题为：

假设我们有

个均匀分布的离散项，取值范围为

0 \sim N

，且满足限制条件

x_1 + x_2 + ... x_k = N

，那么其中

x_1

不小于

的概率是多少。

这个问题其实感觉比上述连续的情况还要简单一些，我们只需要将其视为排列组合问题即可进行解答，即视为分堆问题，将

个元素分到

个堆当中，令其中某一个堆中的元素个数不少于

。

1. 正整数的情况

首先，我们来考察一下最简单的情况，即要求每个堆中至少有一个元素，且

N,M

均为有限整数。

此时，我们要做的事实上就是在

个元素所构成的

N-1

个间隔位置当中放入

k-1

个挡板。不妨设要求的堆就是第一个堆，即第一个堆的元素个数不少于

个，此时，符合要求的摆放方式必然要求第一个挡板的出现位置必须要在第

个间隔或者之后。

因此，我们可以得到答案为：

P(x_1 \geq M) = \frac{C_{N-M}^{k-1}}{C_{N-1}^{k-1}}

2. 整数的情况

对于整数的情况，其结果本质上是与之前正数的情况完全相同的，唯一的区别在于，挡板可以相邻，因此，我们事实上就是将

个元素与

k-1

个挡板合在一起进行排列组合。

同样的，我们要求第一个堆当中至少包含

个元素，此时我们可以仿上求得答案为：

P(x_1 \geq M) = \frac{C^{k-1}_{N-M+k-1}}{C^{k-1}_{N+k-1}}

3.

N \to \infty

的情况

最后，我们考察一下

N \to \infty

的情况，令

N \to \infty

，且有

\mathop{lim}\limits_{N\to \infty} \frac{M}{N} = \tau

。

此时，上述两个式子的解收敛为：

\mathop{lim}\limits_{N\to \infty} P(x_1 \geq M) = (1-\tau)^{k-1}

此结果就是之前讨论的连续情况下的解。

4. 误区分析

这里，其实有一个坑要注意一下，就是如果你在模拟的时候这么写作函数：

def simulate(n=5, N=10000):
    s = []
    for _ in range(N):
        t = 1.0
        for _ in range(n-1):
            t -= t * random()
        s.append(t)
    return s

此时，采样得到的

个点事实上也满足

\sum\limits_{i=1}^{n} x_i = 1

，但是如果我们将

x_i

的分布画出来的话，可以注意到，

x_i

的分布与

的取值有关，且

越大，采样得到的

x_i

的均值越小。

我们以

n=5

为例，可以绘制得到曲线如下：

这乍看有点迷糊，其实仔细想想的话你会注意到这里的

x_i

的取值概率是与开始的题目描述不一致的，原本要求的概率应该是：

P(x_i=x | \sum\limits_{i=1}^{n}x_i=1)

而这里模拟的概率事实上是：

P(x_i=x | \sum\limits_{j=1}^{i-1}x_j \leq 1-x)

因此就会出现两种模拟的结果不一致的情况。

而同样的，如果有读者感兴趣的话，后者事实上我们也可以很轻松地求出其概率密度函数为：

f_{n}(x_i = x) = \frac{g_{i-1}(x)}{g_i(0)} = i \times(1-x)^{i-1}

需要注意的是，这里的

i < n

，当

i = n

时，此时其分布与

i=n-1

时相同，多多少少有那么一点点特殊。

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原始发表：2022-11-20，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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