软硬件融合技术内幕 终极篇 (4) —— 人类历史的丰碑

在上一期，我们一期探讨了计算机如何计算四则运算中最简单的加法。那么，我们如何来计算加法的逆运算——减法呢？

让我们先从小学生常见的问题来回溯到17世纪的欧洲。

几乎所有的小学生都会问老师一个问题：一个较小的自然数，减去一个较大的自然数的结果是什么呢？

在初中数学中，答案很简单：负数。

而两个自然数的加法，依然是自然数。减法的出现，就将自然数的领域扩大到了包含自然数、0和负数的领域，也就是整数域。类似地，除法、开方和对数运算会将数的领域扩大到有理数、代数数(不严谨的称呼为无理数)和超越数。

最有名的超越数是e(自然对数的底)和π (圆周率)。而这两个数和0，1，i(虚数单位)这三个最基本的数，又构成了一个优雅的等式……这个下期再告诉大家，看看大家会不会

让我们回到今天的主题——计算机如何计算减法。

实际上，在人类看来，减法可以转换为加法，只要把被减数换成对应的负数(术语曰：相反数)。

如：2022-1926=96，可以转换为2022+(-1926) = 96。

那么，我们只需要在计算机中，用合理的方式表示负数，就可以实现减法了！

话分两头。

我们知道，计算机使用二进制来表示数字。那么，由于受到二进制位数的限制，计算机可以表示的数字也是有上限的。如8051单片机是8bit的，其加法器单条指令能计算的上限就是8个二进制数，也就是从00000000b到11111111，相当于十进制的0到255。

那么，当255+1的时候会发生什么呢？

让我们从人类视角和从计算机视角分别看。

从人类视角看，这是很简单的一个问题：

255+1 = 256

而从计算机视角看，算式是这样的：

具体到加法器的输入和输出则是这样的：

我们发现，在上图呈现的计算机加法器中，由于只能计算8bit数，产生了255+1=0这样的结果！

我们知道，减法是加法的逆运算。也就是说，既然在8位计算机的视角看来，255+1=0，我们就可以把255视为-1。在8bit整数运算的场景下，在需要减去1的情况下，把255作为加法器的另一输入，就可以实现减法：

以此类推，我们可以认为，11111110代表-2，11111101代表-3……

这种方式叫做二进制补码表示法。其规律是，想得到一个整数的相反数，就将其按位取反再加1，并通过最高bit来作为标志位，判断是正数还是负数。以8bit整数为例：

00000000到01111111，也就是表示正数的0-127；

10000000到11111111，也就是表示负数的-128到-1；

以最高有效位(MSB，Most Significant Bit)为正负标志位，MSB为0的时候为正数，MSB为1的时候为负数。

可以类推之16位：

00000000 00000000到01111111 11111111，表示正数的0到32767；

10000000 00000000到1111111111111111，表示负数的-32768到-1；

32位、64位整数的范围也可以以此类推。

在计算机设计中，更困难的问题是如何解决乘法问题。

二年级以上的小朋友们都理解，乘法的计算显著比加法要复杂，其运算也更慢。对于计算机而言也是如此。特别地，对多位数的乘法需要列竖式进行：

类似地，在计算机中也需要通过类似“列竖式”的方法来解决乘法问题。

在下一期，我们会详解计算机乘法的实现。

本期的内容实际上涉及到一个名词：伽罗华域。伽罗华域是现代计算机技术的理论基础之一，以欧洲19世纪天才数学家伽罗华的名字命名。伽罗华在推翻波旁王朝的第二次法国大革命(又称七月革命)中支持三色共和党，反对帝制，被非法关押后，又被敌对势力诱导参加决斗，身受重伤而死，时年21岁。然而，只要人类文明还存在，伽罗华的名字和他开创的“群论”，就会永远流传下去。

可见，一个人无论是依靠自己的奋斗，还是同时考虑到历史的进程，只要为人类的进步做出过微小的贡献，无论人生的长度是21年还是96年，都将会永垂史册，铭刻在人类进步历史的丰碑。