算法应对电商的各种满减活动

动态规划roadmap

动态规划适于求解最优问题，如求最大值、最小值等。可显著降低时间复杂度，提高代码的执行效率。 难点和递归类似，求解问题的过程不太符合人类常规思维。

• 本文会先通过两个非常经典的动态规划问题模型，展示动态规划存在的意义及动态规划解法是如何演化的，学会后即可举一反三。
• 《动态规划理论》，我会总结动态规划适合解决的问题的特征，以及动态规划解题思路。除此之外，我还会将贪心、分治、回溯、动态规划这四种算法思想放在一起，对比分析它们各自的特点以及适用的场景
• 《动态规划实战》，我会教你应用第二节讲的动态规划理论知识，实战解决三个非常经典的动态规划问题，加深你对理论的理解

经典案例

0-1背包

不同重量、不可分割的物品，选择一些装入背包。 在满足背包最大重量限制的前提下，求背包中物品总重量的max？

可用回溯穷举搜索所有可能的装法，然后找出最大值。但回溯算法时间复杂度太高，为指数级：

假设：

• 背包最大承载重量9
• 有5个不同物品
• 每个物品重量2，2，4，6，3

回溯求解过程，用递归树：

每个节点表示一种状态（i, cw），如（2，2）决策第2个物品是否装入背包，在决策前，背包中物品的总重量是2。

发现有些子问题求解重复，如f(2, 2)和f(3,4)都被重复计算两次。 可借助“备忘录”，记录已计算好的f(i, cw)，当再次计算到重复的f(i, cw)的时候，直接从备忘录中取出来用，避免冗余计算。

跟动态规划的执行效率基本无差。

把整个求解过程分为n个阶段：

• 每个阶段会决策一个物品是否放到背包中
• 每个物品决策（放入或者不放入背包）完后，背包中的物品的重量会有多种情况，即会达到多种不同的状态，对应到递归树中，就是不同节点。

把每层重复的状态（节点）合并，只记录不同状态，然后基于上一层状态集合，推导下一层状态集合。可通过合并每一层重复状态，保证每层不同状态的个数都不会超过w个（w表示背包的承载重量）。这就避免每层状态个数的指数级增长。

二维数组states[n][w+1]，记录每层可达到的不同状态：

• 第0个物品的重量是2，决策完后，对应背包两种状态，背包物品总重量0或2，即states[0][0]=true和states[0][2]=true
• 第1个物品的重量也是2，基于之前背包状态，在这个物品决策完后，不同状态有3个，背包中物品总重量分别是0(0+0)，2(0+2 or 2+0)，4(2+2)，即states[1][0]=true，states[1][2]=true，states[1][4]=true
• 考察完所有物品后，states状态数组计算完毕

0表false，1表true，只需在最后一层，找一个值为true的最接近w（这里是9）的值，即背包中物品总重量的最大值。

动态规划这个名字的由来：把问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。记录每个阶段可达的状态集合（去掉重复的），然后通过当前阶段的状态集合，推导下一个阶段的状态集合，动态地往前推进。

实际上，只需一个大小为w+1 的一维数组。

0-1背包升级

引入物品价值。 对一组不同重量、不同价值、不可分割的物品，选择某些物品装入背包，在满足背包最大重量限制的前提下，背包中可装入物品的总价值最大是多少呢？

依旧可回溯：

递归树中，每个节点表示一个状态。现在需3个变量（counter, currentWeight, currentValue）表示一个状态。

有几个节点的counter和currentWeight完全相同，如f(2,2,4)和f(2,2,3)。 背包物品总重量一样，f(2,2,4)这种状态对应物品总价值更大，可舍弃f(2,2,3)这种状态，只需沿着f(2,2,4)继续往下决策。

即对于(counter, currentWeight)相同的不同状态，只需保留cv最大的继续递归处理。

用回溯算法，就没法再用“备忘录”了。需换思路，动态规划是不是可以呢？ 把整个求解过程分为n个阶段：

• 每个阶段会决策一个物品是否放到背包中
• 每个阶段决策完后，背包中的物品的总重量以及总价值，会有多种情况，即会达到多种不同的状态

用一个二维数组states[n][w+1]，记录每层可达到的不同状态，当前状态对应最大总价值。 每层中(i, cw)重复的状态（节点）合并，只记录cv值最大的状态，然后基于这些状态来推导下一层的状态。

• 时间复杂度是O(nw)
• 空间复杂度也是O(nw) 空间复杂度也可优化

应对满减

凡电商，必有促销，如双十一最常见的“满200元减30元”促销活动。 现假设你的购物车有n个商品，希望从中选几个天命物品，凑足满减条件前提下，让选出的商品价格总和最大程度接近满减条件（200元），极限省钱。

要高效解决此类问题，就需动态规划（Dynamic Programming）。

类似0-1背包，只是“重量”换成了“价格”。

购物车中有n个商品。针对每个商品都决策是否购买。每次决策之后，对应不同的状态集合。 用一个二维数组states[n][x]，记录每次决策之后所有可达的状态。

0-1背包找的是≤w的最大值，x就是背包的最大承载重量w+1。 现在要找的是≥200（满减条件）的值中最小的，所以不能设置为200+1。 若要购买的物品的总价格超过200太多，如1000，那这个羊毛“薅”得就没有太大意义了，可限定x值为1001。

不过，这个问题不仅要求≥200的总价格中的最小的，还要找出这个最小总价格对应都要购买哪些商品。可利用states数组，倒推出这个被选择的商品序列。

重点看后半部分，如何打印出选择购买哪些商品呢？ 状态(i, j)只可能从

• (i-1, j) states[i-1][j]==true，可达，说明没有购买第i个商品
• 或(i-1, j-value[i]) states[i-1][j-value[i]]==true，说明购买了第i个商品。从中选择一个可达的状态（如果两个都可达，就随意选择一个），然后，继续迭代地考察其他商品是否有选择购买。