文章目录
西瓜:50个
香蕉:30个
橙子:20个
为了方便顾客挑选,放在如下的格子里,每个格子放一个水果,总共 100 个
概率
现在有一人前来买水果,那么可以算出他买某种水果的概率:
西瓜:
P(A_1) = 50/100 = 0.5香蕉:
P(A_2) = 30/100 = 0.3橙子:
P(A_3) = 20/100 = 0.2我们统计下买某种水果的概率,并记录为表1
联合概率
水果质量乘次不齐,会有少量的坏果,顾客一般从外观难以分辨。
但是作为经验老道的老板,大概知道有几个坏果,用较深的颜色统计每种水果中的坏果,从图中可以看到:
西瓜里有 10 个坏果
香蕉里有 3 个坏果
橙子里有 4 个坏果
那么顾客既选西瓜又选到坏果的概率是
西瓜:
P(A_1,B) = 10/100 = 0.1这里,顾客既选西瓜A_1又选到坏果B的概率用P(x_1,y)表示,逗号用来表示两件事同时发生。
其他的类似:
香蕉:
P(A_2,B) = 3/100 = 0.03橙子:
P(A_3,B) = 4/100 = 0.04我们统计下顾客挑选某种水果且有坏果的概率表,记录为表2
条件概率
与之前不同,顾客现在就想买颗西瓜,他选到坏果的概率是多少?
西瓜:
P(B|A_1) = 10/50 = 0.2这里,顾客从西瓜里选到坏果的概率用
P(B|A_1) 表示,
其中 |
表示在 A_1发生的前提下又发生B的概率。
其他水果:
香蕉:
P(B|A_2) = 3/30 = 0.1橙子:
P(B|A_3) = 4/20 = 0.2我们统计下顾客从某种水果挑选到坏果的概率表,记录为表3
现在我们把以上三张表整理成一张表
我们会惊奇的发现一个规律:
西瓜:
P(A_1,B)=P(A_1)P(B|A_1)=0.5 \times 0.2 = 0.1香蕉:
P(A_2,B)=P(A_2)P(B|A_2)=0.3 \times 0.1 = 0.03橙子:
P(A_3,B)=P(A_3)P(B|A_3)=0.2 \times 0.5 = 0.04恭喜你,已经发现了联合概率公式:
P(A_i,B)=P(A_i)P(B|A_i)利用幼儿园的乘除法,可以转化为:
P(B|A_i)=\frac{P(A_i,B)}{P(A_i)}这就是所谓的条件概率公式。
条件概率也可以用集合图表示,其实就是用
P(A_i,B) 联合概率(交集) 除以
P(A_i)全概率公式
现在统计下顾客选到坏果的概率为:
P(B)=(10+3+4)/100=0.17再拿过来刚刚的统计表
我们现在发现又一条规律:
P(B)=P(A_1,B)+P(A_2,B)+P(A_3,B)=0.1+0.03+0.04=0.17在现实生活中,我们并不能直接得到
P(A_i,B) 的值,或者获取难度太大。
一般只能获得某个事件发生的概率
P(A_i) 或在 A 事件发生后 B 事件发生的条件概率
P(B|A_i) ,
因此,代入刚刚推导出的联合概率公式,
也就是使用
P(A_i)P(B|A_i) 来指代
P(A_i,B) ,得到:
P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\=0.5\times0.2+0.3\times0.1+0.2\times0.2=0.17以上就是所谓的全概率公式。
我们一般见到的数学表示形式如下:
P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n) = \sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)贝叶斯公式
现在,坏果作为促销商品,那么顾客想从坏果中选到西瓜的概率是多少,也就是计算
P(A_1|B)**注意:**这里需要区分
P(A_1|B) 和
P(B|A_1) 二者的区别
P(B|A_1) 指的是选西瓜这件事已经确定的情况下,从中选坏果的概率,用图表示
P(A_1|B) 指的是在坏果已经确定的情况下,从中选西瓜的概率,用图表示
根据上图,很容易得到坏果总共有 17 个,其中 10 个西瓜:
P(A_1|B)=\frac{10}{17}用符号代替:
P(A_1|B)=\frac{P(A_1,B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}根据联合概率公式:
关于为什么要使用联合概率公式转换,参考上一小节
P(A_1|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}根据全概率公式:
P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)}这个就是所谓的贝叶斯公式。
代入值
P(A_1|B)=\frac{0.5\times0.2}{0.3\times0.1+0.5\times0.2+0.2\times0.2} = \frac{1}{0.17} = \frac{10}{17}