非基变量向量
X_N 及 分块形式
I . 基矩阵 B
线性规划标准形式 , 约束方程的系数矩阵是
A , 如下 :
A = \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &\\\\ & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} &\\\\ \end{bmatrix}该矩阵
A 是
m \times n 阶矩阵 , 有
m 行 ,
n 列 , 代表
m 个约束方程 ,
n 个变量 , 并且
n > m ;
基矩阵
B :
A 的 满秩子矩阵
B , 矩阵
B 的秩是
m ;
- ② 列向量线性无关 : 该矩阵中的 列向量 线性无关 , 即 每一列不能通过 乘以系数 加减的方式得到另外一列列向量 ,
- ③ 基矩阵
B : 这样的 系数矩阵
A 的
m \times m 阶满秩矩阵
B 就是基矩阵 ;
B= \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} &\\\\ & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} &\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & P_1 & P_2 & \cdots & P_m & \end{bmatrix}II . 基向量
P_j
基向量 :
B 中的每个列向量 , 都是一个 基向量 , 记作
P_j , 其中
j = 1 , 2 , \cdots , m ;
m 个列向量 ;
III . 基变量
基变量 : 每个基向量都对应一个变量 , 基向量是列向量 , 该列向量是
x_j 变量的系数组成 , 这个对应的
x_j 变量就是基变量 ;
IV . 非基矩阵
N
非基矩阵
N : 确定一个基矩阵 , 剩下的列向量就是 非基向量 , 这些非基向量 组成 非基矩阵
N ;
N= \begin{bmatrix}\\\\ & a_{1m+1} & a_{1m+2} & \cdots & a_{1n} &\\\\ & a_{2m+1} & a_{2m+2} & \cdots & a_{2n} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{mm+1} & a_{mm+2} & \cdots & a_{mn} &\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & P_{m+1} & P_{m+2} & \cdots & P_{n} & \end{bmatrix}V . 系数矩阵分块形式
A = ( B N )
系数矩阵
A , 可以写成分块形式 :
A = \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &\\\\ & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} &\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & B & N & \end{bmatrix}VI . 基变量向量
X_B 非基变量向量
X_N 及 分块形式
基变量向量
X_B :
X_B = \begin{bmatrix}\\\\ & x_1 &\\\\ &x_2&\\\\ &\vdots& \\\\ &x_m&\\\\ \end{bmatrix}非基变量向量
X_N :
X_B = \begin{bmatrix}\\\\ & x_{m + 1} &\\\\ &x_{m + 2}&\\\\ &\vdots& \\\\ &x_n&\\\\ \end{bmatrix}向量
X 可以写成
X_B 和
X_N 分块形式 :
X = \begin{bmatrix}\\\\ & x_1 &\\\\ &x_2&\\\\ &\vdots& \\\\ &x_n&\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\\\\ & x_B &\\\\ &x_N &\\\\ \end{bmatrix}VII . 分块形式的计算公式
矩阵分块形式方程代入 : 约束方程组
AX = b ;
b 是大于
0 的常数组成的向量 ;
将上述分块形式的 矩阵
A 和 矩阵
X 代入 上述
AX = b 公式 ;
A = \begin{bmatrix} & B & N & \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}\\\\ & X_B &\\\\ &X_N &\\\\ \end{bmatrix}得到
\begin{bmatrix} & B & N & \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}\\\\ & X_B &\\\\ & X_N &\\\\ \end{bmatrix} = bBX_B + NX_N = bVIII . 逆矩阵
逆矩阵 : 其中矩阵
B 是满秩的
m \times m 阶矩阵 , 该矩阵是可逆的 ( 非奇异矩阵 ) , 必定存在一个
B^{-1} , 使得
B \times B^{-1} = E 单位矩阵 : 这里的 矩阵
E 是单位矩阵 , 即 左上角到右下角 对角线 上 的元素 为
1 , 其它元素为
0 ;
主对角线 : 左上角 到 右下角 的对角线称为 主对角线 ;
单位矩阵 示例 如下 :
E=\begin{bmatrix} & 1 & 0 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 &\\\\ & 0 & 0 & 1 & \end{bmatrix}IX . 解基变量
解基变量 :
BX_B + NX_N = b将
NX_N 提到公式右边 :
BX_B = b - NX_N公式两边乘以
B^{-1} :
BX_B \times B^{-1} = ( b - NX_N ) \times B^{-1}X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_NX . 基解
引入基解 : 令非基变量
X_N 中所有变量为
0 , 此时上述公式为 :
X_B = B^{-1}b
约束方程的解为
X = \begin{bmatrix} & X_B & \\\\ & 0 & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & B^{-1}b & \\\\ & 0 & \end{bmatrix}
上述解为基解 , 矩阵
B 是满秩的 , 其秩为
m , 将非基变量赋值
0 , 剩余的
m 个变量 ,
m 个等式 , 必能解出一组唯一解 ; 即
\sum_{j = 1}^{m}p_j x_j = b
方程组有唯一解
X_B = \begin{bmatrix} & x_1 & \\\\ & x_2 &\\\\ & \vdots &\\\\ & x_m & \end{bmatrix}
该解
X_B 是线性规划的一个基解 ;
XI . 基可行解
基可行解 : 如果上述解出的基解
X_B , 满足线性规划数学模型 标准形式 的变量非负约束 , 即所有的变量都大于等于
0 , 该解称为基可行解 ;
并不是所有的基解都是基可行解 , 只有部分基解是基可行解 ;
