【计算理论】正则语言 ( 正则表达式原子定义 | 正则表达式递归定义 | 正则表达式语言原子定义 | 正则表达式语言结构归纳 | 正则表达式语言示例 | 根据正则表达式构造自动机 )

文章目录

• 一、正则表达式 定义
• 二、 正则表达式语言 原子定义
• 三、正则表达式语言 结构归纳定义
• 四、正则表达式语言 示例
• 五、空集

与 空字符

差别

• 六、正则表达式 定理
• 七、根据 正则表达式 语言 构造 自动机 ( 定理正向证明 )
• 八、构造原子自动机
• 九、使用 原子自动机 拼装 正则表达式对应的自动机

一、正则表达式 定义

1 . 正则表达式原子定义 :

如果

是

• 字符集

中的

个字符 ,

• 空字符串

, 或

• 空集

,

那么称

是正则表达式 ;

2 . 正则表达式递归定义 :

如果

是正则表达式 , 那么

是正则表达式 ;

是正则表达式 ;

是正则表达式 ;

上述是正则表达式的定义 , 这是一个结构归纳定义 ;

二、 正则表达式语言 原子定义

正则表达式语言表示方式 :

是正则表达式 ,

是正则表达式代表的语言 ;

1 . 单个字符代表的语言 :

是字符集中的字符 , 那么其所代表的的语言是

单元集 , 是由一个元素的字符构成的 ;

2 . 空字符串代表的语言 :

如果

是正则表达式 , 其所代表的的语言

, 是由空字符串组成的集合

;

3 . 空集代表的语言 :

空集

所代表的的语言 , 就是空集 ;

三、正则表达式语言 结构归纳定义

1 . 正则表达式并集 的 语言 :

是两个正则表达式 , 其并集的语言 , 就是其 两个语言的并集 ;

2 . 正则表达式串联 的 语言 :

是两个正则表达式 , 其串联运算结果正则表达式的语言 , 就是其 两个正则表达式语言的 串联运算结果 ;

3 . 正则表达式星运算 的 语言 :

正则表达式 星运算 结果 正则表达式 的语言 , 就是

正则表达式的语言 进行 星运算的结果 ;

四、正则表达式语言 示例

字符集 :

;

正则表达式 :

;

正则表达式转化成语言 :

上述

就是

有限个字符串组成的字符 ;

正则表达式表示的语言 , 刚好是自动机所识别的语言 ; 可以根据该语言将自动机设计出来 ;

五、空集

与 空字符

差别

空集

是正则表达式 , 类似于数中的

;

空字符

是正则表达式 , 类似于数中的

;

( 后续待补充 )

六、正则表达式 定理

1 . 定理 : 一个语言如果是正则语言 , 当且仅当 , 该语言可以通过正则表达式表示出来 ;

2 . 有以下两层含义 :

• ① 正则表达式 -> 自动机识别 :正则表达式 表达出的语言 刚好 能够被自动机识别 ;
• ② 自动机识别 -> 正则表达式 : 自动机识别某个语言 , 那么该语言可以被正则表达式表达出来 ;

3 . 定理证明 :

① 正则表达式 -> 自动机识别 证明 : 给定一个正则表达式 , 设计一个自动机 , 该自动机所 接受 ( 识别 / 认识 ) 的语言 , 刚好是该正则表达式所表达的语言 ;

下面的 " 根据 正则表达式 语言 构造 自动机 " 小节的示例 , 证明了正则表达式语言必有自动机识别 ;

② 自动机识别 -> 正则表达式 证明 : 给定一个自动机 , 找到其所识别的 正则表达式语言 ;

七、根据 正则表达式 语言 构造 自动机 ( 定理正向证明 )

1 . 需求 : 根据下面的 正则表达式 构造 非确定性有限自动机 ( NFA ) , 刚好能 识别上述正则表达式表示的语言 ;

构造能识别

语言 的 自动机 ;

八、构造原子自动机

构造原子自动机 : 先构造能接收 单个字符 的自动机 ;

① 接收

字符的自动机 : 下面的自动机是可以识别

字符串的 ;

② 接收

字符的自动机 : 下面的自动机是识别

字符串的 ;

九、使用 原子自动机 拼装 正则表达式对应的自动机

拼装上述识别单个字符的 自动机 :

1 . 摆放自动机位置 : 将

个能识别

字符串的自动机 , 与

个能识别

字符串的自动机 , 按照如下排列放置 ;

2 .

对应自动机构造 :

① 自动机连接方式 :

正则表达式语言 自动机 与

正则表达式语言 自动机 是串联在一起的 ;

② 串联两个自动机的状态 : 使用

箭头 , 串联

对应自动机的接受状态 ->

对应自动机的开始状态 ;

③ 修改 前者 的状态 : 同时将

对应自动机的接受状态 改为非接受状态 ;

下面是

正则表达式 表达的语言 对应的自动机表示 :

3 .

对应自动机构造 :

① 添加新开始状态 : 重新添加一个开始状态 ;

② 连接并运算前者 : 使用

箭头 从这个新添加的开始状态 指向

自动机开始状态 ;

③ 连接并运算后者 : 使用

箭头 从这个新添加的开始状态 指向

自动机开始状态 ;

下面是

正则表达式 表达的语言 对应的自动机表示 :

4 .

对应自动机构造 :

① 构造方法 : 就是 在

对应自动机的基础上 , 使用

箭头 , 从 接受状态 指向 开始状态 ;

② 连接个数 : 所有的接受状态 , 都 使用

箭头 指向开始状态 , 这里有两个接受状态 , 需要都指向开始状态 ;