【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:01:20

9350

发布于 2023-03-28 18:01:20

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一、关系的定义域、值域、域

是一个任意集合

定义域 ( Domain ) :

dom R = \{ x | \exist y (xRy) \}

存在

与

有

关系 ,

关系是一个集合 , 集合中的元素是有序对 ,

xRy

是

<x,y>

有序对 ;

中的有序对 , 第一个元素是

, 第二个元素是

, 那么可以将该

放入定义域中 ;

关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成一个定义域 ;

值域 ( Range ) :

ran R = \{ y | \exist y (xRy) \}

关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成值域 ;

域 ( Field ) :

fld R = dom R \cup ran R

域是定义域和值域的并集 ;

二、关系的定义域、值域、域示例

R_1 = \{a, b\}

R_1

中没有有序对 , 因此其定义域 , 值域为空 , 进而其域也为空 ;

dom R_1 = \varnothing

ran R_1 = \varnothing

fld R_1 = \varnothing

R_2 = \{ a, b, <c, d> , <e,f> \}

dom R_2 = \{ c, e \}

ran R_2 = \{ d, f \}

fld R_2 = \{ c, d, e , f\}

R_3 = \{ <1,2>, <3, 4> , <5,6> \}

dom R_3 = \{ 1, 3, 5 \}

ran R_3 = \{ 2, 4, 6 \}

fld R_3 = \{ 1, 2, 3, 4,5, 6\}

三、关系的逆运算

任意集合

F , G

, 这里两个集合是关系 , 集合中的元素是有序对

逆运算 ( Inverse ) :

F^{-1} = \{ <x, y> | yFx \}

将

关系中的所有有序对中的元素 , 前后调换方向 , 有序对中第一个元素变为第二个元素 , 第二个元素变为第一个元素 ;

如 : 将

yFx

, 是

<y, x>

有序对 , 变成

<x, y>

有序对 ;

四、关系的逆序合成运算

逆序合成 ( Composite ) :

FoG = \{ <x, y> | \exist z ( xGz \land zFy ) \}

如果关系

中有

<x,z>

有序对 , 关系

中有

<z, y>

有序对 , 就可以得到一个新的有序对

<x,y>

, 该新的有序对在关系

和关系

的合成运算结果中 ;

这种合成是 逆序合成 , 先用

FoG

中的后面的

关系的有序对 , 然后再用前者

中的有序对 ;

逆序合成与之对应的是顺序合成 , 一般情况下使用逆序合成 , 其性质使用方便 ;

五、关系的限制

对于任意集合

F, A

, 可以定义

集合在

集合上的限制 ( Restriction ) :

F \upharpoonright A = \{ <x, y> | xFy \land x \in A \}

解析 :

集合是一个关系 , 其元素是有序对

集合是普通集合 , 其元素就是单纯的单个元素 ;

集合中的有序对元素中 , 如果有序对的第一个元素在

集合中, 那么将这个有序对挑出来 , 放到一个新的集合中 , 这个新集合就称为

集合在

集合上的限制 , 记作

F \upharpoonright A

;

上述限制 ( Restriction ) 是限制有序对中的第一个元素 ;

如果想要限制第二个元素 , 将

集合中的有序对中的第二个元素属于

的集合的有序对挑出来 , 可以将

关系进行逆运算 , 然后求

F^{-1}

的限制 ;

限制的结果仍然是一个关系 , 其集合中的元素是有序对 ;

六、关系的象

对于任意集合

F, A

, 可以定义

集合在

集合上的像 ( Image ) :

F(A) = ran(F \upharpoonright A)

即 ,

在

集合上的限制 ( Restriction ) 的值域 ;

另一种表示方式 :

F [A] = \{ y | \exist x ( x \in A ) \land xFy \}

将

中的有序对挑出来 , 然后挑出有序对中第一个元素在

集合中的有序对 , 将上述有序对的第二个元素挑出来 , 放入新的集合中 , 这个集合就是

在

集合上的像 ;

像的结果不是一个关系 , 而是符合特定要求的有序对集合中的有序对的第二个元素组成的集合 ;

七、单根

任意集合

, 单根 ( Single Rooted ) 定义 :

是单根的

\Leftrightarrow

\forall y ( y \in ran F \to \exist ! x( x \in domF \land xFy ) )

\Leftrightarrow

( \forall y \in ran F )( \exist ! x \in domF )(xFy)

任何一个

是有序对中的值域中的元素 , 有序对中与

对应的值

元素 , 即

<x, y>

构成一个有序对 , 该

存在并且唯一 ;

有序对

<x, y>

中每个

都对应着不同的

一些谓词公式说明 :

\exist !

表示唯一存在 ;

\forall x ( (x \in A \to B(x) )

可以缩写为

(\forall x \in A)B(x)

\exist x ( x \in A \land B(x) )

可以缩写为

(\exist x \in A)B(x)

八、单值

任意集合

, 单值 ( Single Value ) 定义 :

是单值的

\Leftrightarrow

\forall x ( x \in dom F \to \exist ! y( y \in ranF \land xFy ) )

\Leftrightarrow

( \forall x \in dom F )( \exist ! y \in ranF )(xFy)

任何一个

是有序对中的定义域域中的元素 , 有序对中与

对应的值

元素 , 即

<x, y>

构成一个有序对 , 该

存在并且唯一 ;

有序对

<x, y>

中每个

都对应着不同的

九、合成运算的性质

R_1, R_2, R_3

是三个集合 , 则有以下性质 :

(R_1 o R_2) o R_3 = (R_1 o ( R_2 o R_3 ))

F, G

是两集合 , 有以下性质 :

(F o G)^{-1} = G^{-1} o F^{-1}

合成运算的逆等于两个集合逆的合成 ;

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原始发表：2020-10-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

field

image

range

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