【数字信号处理】离散时间系统因果性 ( 因果性概念 | 充要条件及证明 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:46:18

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发布于 2023-03-30 11:46:18

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一、离散时间系统因果性

① 离散时间系统因果性 :

" 离散时间系统 "

n

时刻的 " 输出 " ,

只取决于

n

时刻及

n

时刻之前的 " 输入序列 " ,

与

n

时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

离散时间系统的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;

" ② 离散时间系统因果性 " 的充分必要条件是 :

h(n) = 0 \ \ n < 0

模拟系统的 " 单位冲激响应 " , 必须从

0

时刻开始才有值 , 是 " 单边序列 " 类型中的 " 右边序列 " ,

0

时刻的值也就是起点不能为

0

;

二、充要条件证明

1、充分性证明

如果

h(n) = 0 \ \ n < 0

成立 , 则离散时间系统具有 " 因果性 " ;

线性时不变 LTI 系统 , 有

y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)

h(n) = 0 \ \ n < 0

成立的话 , 在

n < 0

时 ,

h(n) = 0

;

如果在

m > n

时 ,

n - m < 0

,

h(n - m) = 0

,

y(n)

只与

m \leq n

时有关 , 只有在该情况 (

m \leq n

) 下 ,

h(n - m) \not= 0

,

y(n)

才有实际意义 ;

y(n)

的计算公式为 :

y(n) = \sum^{n}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)

2、必要性证明

如果离散时间系统具有 " 因果性 " , 则在

n < 0

时有

h(n) = 0

;

使用反证法证明 , 首先假设当

n < 0

时 ,

h(n) \not= 0

;

当

m > n

时 ,

h(n - m) \not= 0

,

y(n) =\sum^{n}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) + \sum^{\infty}_{m = n + 1} x(m) h(n-m)

上面式子中的

\sum^{\infty}_{m = n + 1} x(m) h(n-m)

项不为

0

,

该 LTI 系统的输出

y(n)

与

m > n

时的

x(m)