【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 1 的傅里叶变换 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:05:30

9760

发布于 2023-03-30 12:05:30

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

一、求 1 的傅里叶反变换

一、求 1 的傅里叶反变换

已知傅里叶变换

X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )

求该傅里叶变换的反变换

ISFT[X(e^{j\omega})]

0、周期 2π 的单位脉冲函数

单位脉冲函数 ( 单位冲击函数 ) 对应的函数图像如下 : 横轴是

n

, 纵轴是

\delta (n)

;

n = 0

时 ,

\delta (n) = 1

n = 1

时 ,

\delta (n) = 0

如果写成

\widetilde{\delta} ( \omega )

样式 , 说明该 单位脉冲函数 是以

2 \pi

为周期的 ,

\widetilde{\delta} ( \omega )

可以写成如下式子 :

\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )

m

取值

(-\infty , +\infty)

;

其函数图像如下样式 :

1、问题分析

求 1 的傅里叶变换 SFT , 无法直接求出 , 这里求其傅里叶反变换 ;

\widetilde{\delta} ( \omega )

序列如下图所示 :

除了在

0

位置外 , 在

2\pi , 4\pi , 6\pi

等位置 , 都是无限冲激响应 ,

其物理意义是所有的能量 , 都集中在

\omega = 0

位置上 ;

周期信号信息都在其周期组织区间内 , 其它区间都是周期性重复的 , 因此这里只分析

[-\pi , \pi]

之间的信号 ;

\widetilde{\delta} ( \omega )

的物理意义是所有的能量都集中在

\omega = 0 , \pm2\pi , \pm 4\pi , \cdots

位置上 ;

2、涉及公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域可以展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即根据傅里叶变换推导序列 ;

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

3、1 的傅里叶反变换

将

X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )

带入到

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

傅里叶反变换公式中 , 可以得到如下公式 :

ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) e^{j \omega k} d \omega

-\pi

~

\pi

之间 , 只有

\omega = 0

点有值为

1

, 其它点都为

0

,

当

\omega = 0

时 , 结果是

2\pi

当

\omega \not=0

时 ,

\widetilde{\delta} ( \omega ) = 0

, 结果都是

0

;

因此 ,

\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} = 1

可得到下面的式子 :

ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \times 2 \pi = 1

其中 ,

k

取值

(-\infty , +\infty)

;

4、1 的傅里叶反变换

最终可以得到一个公式 , 傅里叶变换如下 :

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

使用

1

替换上述

x(n)

, 可以得到 :

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n}

结合本博客中的示例 :

1

的傅里叶变换如下 ,

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2022-03-08，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

博客

函数

本文分享自作者个人站点/博客前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

博客

函数

登录后参与评论

0 条评论

热度