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一、求 cosωn 傅里叶变换
求
\cos\omega_0n 的傅里叶变换
SFT[\cos\omega_0n] ?
0、cosωn 序列分析
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\cos\omega_0n| = \infty\cos\omega_0n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为
\infty , 但是其有傅里叶变换 ;
绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :
x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "
x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数
\delta(\omega) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
1、傅里叶变换与反变换公式介绍
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega2、复变函数欧拉公式介绍
复变函数 欧拉公式 :
e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ①e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ②单位复指数序列特点 :
e^{j (\omega _0 n + 2k\pi n)} = e^{j \omega_0 n} \ \ \ \ \ k = 0, \pm1 , \pm 2, \cdots对
\omega 来说 一定是以
2\pi 为周期 ;
① 与 ② 相加 , 可以得到 :
\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③① 与 ② 相减 , 可以得到 :
\sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066
3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程
直接 对
cos \omega_0 n使用
\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③公式 ,
可以得到 :
\cos \omega_0 n = \cfrac{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2} \ \ \ \ ⑤求上述
\cfrac{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2}序列的傅里叶变换 ,
在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了
e^{i\omega_0 n} 的傅里叶变换 , 结果是 :
SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )将
j 替换成
i 可以得到 :
SFT[e^{i \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) \ \ \ \ ⑥将
\omega_0 替换成
-\omega_0 可以得到 :
SFT[e^{i ( -\omega_0 ) n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega + \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) \ \ \ \ ⑦将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :
SFT[\cos \omega_0 n] = \cfrac{2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{2}最终得到 :
SFT[\cos \omega_0 n] = \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )将
\pi 提取出来 , 得到 :
SFT[\cos \omega_0 n] = \pi (\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) )SFT[\cos \omega_0 n] 如下图所示 :
