【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:07:11

5380

发布于 2023-03-30 12:07:11

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一、傅里叶变换线性性质

傅里叶变换线性性质 :

两个序列之和的傅里叶变换 ,

等于

两个序列的傅里叶变换之和 ;

SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aSFT[x_1(n)] + bSFT[x_2(n)]

代入傅里叶变换公式

SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

得到 :

SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aX_1(e^{j\omega}) + bX_2(e^{j\omega})

二、傅里叶变换时移性质

傅里叶变换时移性质 :

序列信号在 " 时间 " 上 , 进行一系列 " 平移 " 之后 ,

平移只是影响序列信号傅里叶变换的 " 相频特性 " ,

平移没有影响序列信号傅里叶变换的 " 幅频特性 " ;

x(n)

序列线性移位

-n_0

后为

x(n - n_0)

序列的傅里叶变换

SFT[x(n - n_0)]

是

原来的

x(n)

序列的傅里叶变换

SFT[x(n)]

乘以

e^{-j \omega n_0}

;

使用公式表示为 :

SFT[x(n - n_0)] = e^{-j \omega n_0} X(e^{j \omega})

证明过程

傅里叶变换公式为 :

SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

x(n)

序列 , 在时间维度

的基础上 , 平移

n_0

, 得到的序列是

x(n - n_0)

代入傅里叶变换公式后得到 :

SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n - n_0) e^{-j \omega n}

令

n' = n - n_0

, 则有

n = n' + n_0

, 代入到上面的式子中 :

SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega ( n' + n_0 )}

展开

e^{-j \omega ( n' + n_0 )}

得到 :

SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega n' } e^{-j \omega n_0 } \ \ \ \ ①

傅里叶变换公式为 :

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

使用

替换上面公式中的

, 可得到 ;

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n') e^{-j \omega n'} \ \ \ \ ②

将 ② 带入到 ① 中 , 可以得到

SFT[x(n - n_0)] = X(e^{j\omega}) e^{-j \omega n_0 }

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原始发表：2022-03-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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