【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 序列实偶傅里叶变换实偶 | 序列实奇傅里叶变换虚奇 | 证明 “ 序列实奇傅里叶变换虚奇 “ )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 13:12:58

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发布于 2023-03-30 13:12:58

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

一、序列实偶傅里叶变换实偶

如果

x(n)

序列是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换

X(e^{j \omega})

也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

二、序列实奇傅里叶变换虚奇

如果

x(n)

序列是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换

X(e^{j \omega})

也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

三、证明 " 序列实奇傅里叶变换虚奇 "

1、前置公式定理

①、序列实部傅里叶变换

x(n)

序列的实部

x_R(n)

的傅里叶变换 , 就是

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{j \omega})

的共轭对称序列

X_e(e^{j \omega})

;

x_R(n)

的傅里叶变换

X_e(e^{j \omega})

具备共轭对称性 ;

x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})

②、序列虚部傅里叶变换

x(n)

序列的虚部

x_I(n)

的傅里叶变换 , 就是

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{j \omega})

的共轭反对称序列

X_o(e^{j \omega})

;

jx_I(n)

的傅里叶变换

X_o(e^{j \omega})

具备共轭反对称性 :

jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})

③、共轭对称序列傅里叶变换

x(n)

的共轭对称序列

x_e(n)

的傅里叶变换 , 一定是一个实序列

X_R(e^{j \omega})

x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})

④、共轭反对称序列傅里叶变换

x(n)

的共轭反对称序列

x_o(n)

的傅里叶变换 , 一定是一个纯虚序列

X_R(e^{j \omega})

x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})

2、证明过程

实序列傅里叶变换

x(n)

为 " 实序列 " ,

根据

x(n)

序列的实部

x_R(n)

的傅里叶变换 , 就是

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{j \omega})

的共轭对称序列

X_e(e^{j \omega})

;

x_R(n)

的傅里叶变换

X_e(e^{j \omega})

具备共轭对称性的特征 :

x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})

性质 , 其傅里叶变换

X(e^{j \omega})

有如下特性 :

X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})

奇对称序列傅里叶变换

x(n)

序列是 " 奇对称 " 的 ,

根据

x(n)

的共轭反对称序列

x_o(n)

的傅里叶变换 , 一定是一个纯虚序列

X_R(e^{j \omega})

x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})

性质 , 其傅里叶变换

X(e^{j \omega})

有如下特性 :

X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega})

前面加了

j

, 说明

X_I(e^{j \omega})

是实的 ,

jX_I(e^{j \omega})

是虚的 ;

实序列奇对称序列的傅里叶变换虚奇特征

结合上述 " 实序列傅里叶变换

X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})

" 和 " 奇对称序列傅里叶变换

X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega})

" ,

对

jX_I(e^{j \omega})

取共轭 , 然后将

\omega

取反 , 可得到

X^*(e^{-j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega})

将

jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega})

中的

j

去掉 , 可得到

X_I(e^{j \omega}) = -X_I(e^{-j \omega})

X_I(e^{j \omega})

和

-X_I(e^{-j \omega})

都是实数 , 这是奇函数的特征 ;

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原始发表：2022-03-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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