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一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例
x(n) = a^n u(n) , 且
|a|<11、序列傅里叶变换共轭对称性质
1、序列实部傅里叶变换
x(n) 序列的 实部
x_R(n) 的 傅里叶变换 , 就是
x(n) 的 傅里叶变换
X(e^{j \omega}) 的 共轭对称序列
X_e(e^{j \omega});
x_R(n) 的 傅里叶变换
X_e(e^{j \omega}) 具备 共轭对称性 ;
x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})2、序列虚部傅里叶变换
x(n) 序列的 虚部
x_I(n) 的 傅里叶变换 , 就是
x(n) 的 傅里叶变换
X(e^{j \omega}) 的 共轭反对称序列
X_o(e^{j \omega});
jx_I(n) 的 傅里叶变换
X_o(e^{j \omega}) 具备 共轭反对称性 :
jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})3、共轭对称序列傅里叶变换
x(n) 的 共轭对称序列
x_e(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列
X_R(e^{j \omega})x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})4、共轭反对称序列傅里叶变换
x(n) 的 共轭反对称序列
x_o(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列
X_R(e^{j \omega})x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换
根据 傅里叶变换公式 计算
x(n) 的傅里叶变换 , 公式如下 :
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}将
a^nu(n)序列 , 直接带入到
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}傅里叶变换公式中 , 可得到 :
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n e^{-j \omega n}根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到
X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}3、序列分析
该信号
x(n) 是实信号 , 该信号既不是偶对称的 , 也不是奇对称的 ;
x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) 性质 ,
x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) 性质 ;
因此 , 这里
x(n) 的傅里叶变换 , 既不是实数 , 也不是虚数 , 那么就一定是复数 ;
分析
x(n) 的傅里叶变换 复数序列的 实部 和 虚部 :
由于
x(n) = a^n u(n) 序列是实数 ,
其 傅里叶变换
SFT[x(n)] =X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}一定是共轭对称的 ;
分解
SFT[x(n)] 的实部和虚部 :
X(e^{j\omega}) = \cfrac{1 - a\cos \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } - j\cfrac{a\sin \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega }共轭对称 的 傅里叶变换 , 实部是 偶对称的 , 虚部是 奇对称 的 ;
傅里叶变换的 模 , 即 傅里叶变换 取绝对值
|X(e^{j\omega})| , 是偶对称的 ;
|X(e^{j\omega})| = \cfrac{1}{ ( 1 + a^2 - 2a\cos \omega )^{\frac{1}{2}} }根据如下定理 :
x(n) 的 共轭对称序列
x_e(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列
X_R(e^{j \omega})x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})可得 : 傅里叶变换的 实部
\cfrac{1 - a\cos \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } 的 傅里叶反变换 , 对应的是
x(n) 的共轭对称分量 ;
傅里叶变换的 虚部
- j\cfrac{a\sin \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } 的 傅里叶反变换 , 对应的是
x(n) 的共轭反对称分量 ;
在 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 ) 博客中 , 推导了 共轭对称序列 与原序列的关系 , 这里当做一个先决的条件 , 之后需要使用 ;
实因果序列的对称序列与原序列关系 : 先将结果放在这里 , 之后需要使用 ;
h_e(n) 与
h(n) 关系 :
h_e(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}h_o(n) 与
h(n) 关系 :
h_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{-h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}下面继续分析上述序列 :
下面的序列
x_e(n) 为实偶 ,
x_e(n) =\begin{cases} 1 & n = 0 \\\\ \cfrac{a^n}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{a^{-n}}{2} & n < 0 \end{cases}根据如下定理 :
如果
x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换
X(e^{j \omega}) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;
则
x_e(n) 的 傅里叶变换
X_R(e^{j \omega}) 也是 实偶 的 ;
下面的序列
x_o(n) 为实奇 ,
x_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{a^n}{2} & n > 0 \\\\ -\cfrac{a^{-n}}{2} & n < 0 \end{cases}根据如下定理 :
如果
x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换
X(e^{j \omega}) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;
则
x_o(n) 的 傅里叶变换
jX_I(e^{j \omega}) 也是 虚奇 的 ;
原序列
x(n) 图像如下 :
x(-n) 图像 , 就是将
x(n) 图像 , 以
y 轴为中心进行镜像 :
x(n) 序列的 共轭对称分量
x_e(n) 就是
x(n) 与
x(-n) 相加 , 除以
2 :
x_e(n) = \cfrac{x(n) + x(-n)}{2}x(n) 序列的 共轭反对称分量
x_o(n) 就是
x(n) 与
x(-n) 相减 , 除以
2 :
x_o(n) = \cfrac{x(n) - x(-n)}{2}x(n) 的模 图像如下 , 是偶对称的 ;
x(n) 的 实部 图像如下 , 是偶对称的 ;
x(n) 的 虚部 图像如下 , 是奇对称的 ;
x(n) 的 相位 图像如下 , 是奇对称的 ;
