学瞎想系列之一五二 电机设计中磁密那些事
电机设计少不了与各种磁密打交道，气隙磁密、齿磁密、轭磁密、平均磁密、最大磁密…这些耳熟能详的术语恐怕都不陌生吧？你可能天天在用各种公式和电磁仿真软件计算这些东东，反正不是套公式就是盯着电脑屏幕看那些花里胡哨的磁密云图，但你真正了解它们的含义吗？真的了解这些物理量的定义和物理意义吗？经常遇到同学问有关磁密的各种五花八门的问题：气隙磁密到底是平均值？有效值？基波有效值？还是最大值？齿和槽一样宽时，为什么齿磁密不是气隙磁密的两倍？…本期就详细捋一捋有关磁密的那些事。
1 啥叫磁密
中学物理里就讲过，磁场可以用两个物理量(矢量)来描述，一个是磁感应强度B；另一个是磁场强度H。由于二者都是描述磁场强弱和方向的物理量，因此二者就存在着一定的关系，在没有激磁(场源)的区域，二者的关系是B=μH，其中μ为该区域的磁导率。
磁感应强度B也称磁通密度，简称磁密，其定义如图1所示，磁场中某点穿过垂直于磁力线方向单位微元面积上的磁通量称为该点的磁密，其方向为该点磁力线的切线方向。即：
B=dΦₘ/ds ⑴
图1 磁通密度定义
由于磁场中不同位置(点)的磁密可能不同也可能相同，因此磁密是空间位置的函数，如果在某一区域内各点的磁密都相同，则称该区域内为匀强磁场，否则为非匀强磁场；某些情况下，同一点的磁密在不同时刻也可能不同，因此磁密同时又是时间的函数，如果在某一段时间内各点的磁密不随时间变化，则称这段时间内的磁场为稳恒磁场，否则称为时变磁场。综上所述，磁场中的磁密即是时间函数又是空间位置函数。
2 电机设计为嘛要计算磁密
电机是以磁场为“桥梁”的能量转换装置，因此电机运行时离不开磁场，描述电机中各处磁场的分布情况当然离不开磁密B和磁场强度H这两个物理量，典型电机中的磁场分布如图2所示。
图2 典型电机中的磁场
磁路计算是电机设计重要的一个环节，磁路计算的目的就是核算电机在各种运行工况下各处的磁场分布是否合理，因此计算各种工况下各处的磁密是不可或缺的步骤。在保证电机磁路各处磁场分布合理的情况下，还要计算出各段磁路的磁压降，从而计算出产生该磁场所需的励磁磁势或励磁电流，而计算各段磁路的磁压降首先要计算出各段磁路的磁密，才能通过计算或查磁化曲线来得到磁场强度H，进而计算出各段磁路的磁压降。磁路计算的步骤通常是：
① 根据绕组的电压(感应电势)和铁心、绕组结构参数，计算出每极磁通。
② 将电机的磁路按照材料和结构(截面)的不同划分为若干段，例如：对于异步电机和隐极同步电机磁路，可划分为定子轭、定子齿、气隙、转子齿、转子轭；对于凸极同步电机磁路可划分为定子轭、定子齿、气隙、极靴、极身、转子轭，等等。根据每段磁路的截面和每极磁通就可以计算出每段(第i段)磁路的磁密Bᵢ。
③ 根据每段磁路的材质确定各段磁路的磁场强度Hᵢ。对于线性材质的磁路(如气隙)，其磁导率为常数，可以直接利用B=μ₀H来计算该段磁路的磁场强度；对于铁磁材料的磁路，由于存在磁饱和效应，属于非线性材料，材料的磁导率不是常数，只能根据第②步得到的Bᵢ通过磁化曲线来查得该段磁路的磁场强度Hi。
④ 用各段磁路的磁场强度Hi和各段磁路的计算长度li相乘，分别计算出各段磁路的磁压降Hᵢlᵢ，然后计算出整个磁路的总磁压降∑Hᵢlᵢ，这个总磁压降就等于电机所需的励磁磁势F。
由此可见，在进行电机磁路计算时，必须要先计算出各段磁路的磁密。问题来了，由于电机中的磁密即是空间的函数又是时间的函数，不同时刻、不同位置点的磁密都可能是不同的，那么该用什么时刻、哪个位置的磁密来进行磁路计算呢？又是应该采用磁密的什么值(瞬时值or有效值or最大值or平均值)来进行磁路计算呢？
3 电机中的磁密
3.1 气隙磁密Bδ
如前所述，气隙磁密既是空间的函数又是时间的函数。说它是空间的函数是指：在某一固定时刻气隙圆周上不同点的磁密不同，即：时间固定时磁密是气隙圆周位置的函数，这个函数可能是正弦函数，亦或是其它波形的函数。无论气隙磁密波形如何，电机设计里说的气隙磁密Bδ通常都是指气隙磁密波形的最大值(或幅值)。因为在进行磁路计算时，需要计算出总的励磁磁势，而总励磁磁势就是各段磁路的最大磁压降之和，因此磁路计算所选择的计算路径应该是链绕全部定转子匝数的闭合路径，这个路径上
的气隙段通常是磁极的中心线位置，也就是气隙磁密幅值的位置。
3.2 齿磁密
电机齿部的磁密同样即是空间位置的函数又是时间的函数。首先说空间位置，某一固定时刻，不同齿的磁密是不同的，即使是同一个齿，如果是非平行齿，那么不同齿高处磁密也不同。一般电机设计里说的齿磁密都是指距离齿部最窄处1/3齿高截面上的磁密。由于铁心的磁导率很大，所以齿部同一截面上各点的磁密应该基本上是均匀的（即截面上各点的磁密相等），从这个意义上讲，磁密值应该是这个齿截面上的平均值！
再说时间因素，异步电机的定转子齿、同步电机的定子齿磁密以及直流电机的转子齿磁密都是交变的，可以把这些齿磁密看作是随时间作正弦变化的函数，既然是交变函数，就存在最大值、有效值、平均值的问题。那么电机设计里说的齿磁密应该是什么值呢？对于一个正弦交流函数，其平均值为0，因此不可能是平均值。还有一种平均值，就是正弦函数在半波上的平均值，但遗憾的是电机设计里说的齿磁密也不是这个平均值，因为这个值对计算励磁磁势毫无意义。电机设计里说的齿磁密是指：任意一个齿在距离齿部最窄处1/3齿高的截面上平均磁密的最大瞬时值！也可以说齿磁密就是当气隙磁场的最大值处对准某个齿的中心线时，被对准的那个齿在距离齿部最窄处1/3齿高的截面上磁密的平均值！这两种说法其实是一个值。
接下来说说同步电机的转子齿磁密，由于同步电机转子各处磁密是不交变的，当然其转子齿磁密也是不交变的。对于凸极同步电机，不存在转子齿磁密问题。对于隐极同步电机，转子上存在大齿和小齿，其中大齿上齿磁密也是指距离大齿最窄处1/3齿高的截面上磁密的平均值，磁路计算时用大齿上的该磁密值计算转子齿部的磁压降。至于小齿上的齿磁密，会随各个小齿所的位置不同，磁密也不同，小齿上的齿磁密只是用来评估各处磁密分布是否合理之用，不能用其计算齿部磁压降和总的励磁磁势，因此没有必要纠结小齿上的齿磁密究竟是指什么截面上的平均值，而应该看整个齿上不同截面处的磁密值，重点要看齿根处的磁密是否过饱和，因为转子齿根处的齿宽通常是最窄的，此处磁密最高。
3.3 轭磁密
电机定转子的轭磁密同样即是空间位置的函数也是时间的函数。说它是空间位置的函数是指某一固定时刻轭的不同截面(等势面)上的磁密不同；说它是时间的函数是指某一固定的轭截面上磁密是随时间而变化的。异步电机的定转子轭、直流电机的电枢轭以及同步电机的定子轭磁密都是随时间而交变的函数，只有同步电机的转子轭和直流电机的定子轭磁密不随时间变化，只是空间位置的函数。通常电机设计里所说的轭磁密，对于异步电机的定子轭、直流电机的电枢轭以及同步电机的定子轭来说，是指某一固定时刻，磁密最大的轭截面上的磁密值，或者说在任意轭截面上交变磁密的最大值(幅值)就是轭磁密。同样这两种说法其实是一个值。再说同步电机的转子轭和直流电机的定子轭磁密，由于这些轭磁密不交变，因此同步电机的转子轭和直流电机的定子轭磁密是指磁密最大截面上的磁密值。这个截面通常是两个相邻磁极的分割面。
以上都是在路算法时所说的齿磁密和轭磁密，最后说一下在有限元数值计算(也就是场算法)时所说的磁密，场算法是将磁路剖分成众多微小的计算单元(有限元)，然后根据电磁理论列出各有限元之间电磁场参数的微分方程，同时考虑了铁心饱和等各种非线性因素和磁路结构的因素，对各点的磁密进行精确的求解，得出各点的磁场物理量，这样算出来的磁密在每个不同位置点和不同时间点都不同，因此这不是一个常值，而是各个点的瞬时值，通常用磁密云图来显示出来。但由于在铁心的同一等势截面上磁导率差别不大，因此在同一等势截面上的磁密值差别不大，这一点从磁密云图上也可以看出。因此场算法里说的磁密，通常是指整个电机磁路的磁密云图，轭磁密是指轭部的磁密云图，齿磁密是指齿部的磁密云图。从这些磁密云图上可以直观看到电机磁路各处的磁密分布，评估磁场分布是否合理。评估局部磁场是否过饱和时，只需重点关注磁密最大区域即可，电机的总励磁磁势也是软件自动计算出来，因此也就没有必要再纠结齿磁密、轭磁密到底应该是什么位置的一个什么值了。
4 齿和槽宽度一样时，为什么齿磁密不是气隙磁密的两倍？
这个问题提得比较笼统，要解答这个问题必须要先搞清楚这个问题的本质。我们可以从以下几个方面来分析这个问题：
首先，说齿宽等于槽宽这个前提就是很不严谨的，因为无论什么槽型，都不可能出现齿宽和槽宽永远相等的情况。我们不妨在齿的不同高度处画一系列的同心圆，随着这一系列同心圆半径的不同，齿宽和槽宽的比例也在不断地变化，我们只能找到某一个同心圆上齿宽和槽宽相等，其它圆上不可能相等。前面讲到齿磁密是指距离齿部最窄处1/3齿高的截面上的平均磁密幅值。因此这个问题就应该是限定在1/3齿高的同心圆上，于是这个问题就变成了“当1/3齿高的同心圆上的齿宽和槽宽相等时，为什么齿磁密不是气隙磁密的两倍？”。对此回答当然不应该是气隙磁密的两倍！因为这个圆的半径不是气隙圆周的半径，半径不同磁路的截面积就不同，同样的磁通在不同截面积上磁密就不同，把气隙磁密折算到这个同心圆的截面上本身磁密就发生了变化，在这个圆上的齿磁密应该等于气隙磁密折算到这个圆截面后的磁密的两倍，而不是直接等于气隙磁密的两倍。
其次，前面说了气隙磁密Bδ是指气隙磁密波形的最大值(幅值)，这是一个固定的值，而不同齿的齿磁密是不同的，因此笼统地说齿磁密应该等于气隙磁密的两倍同样是不严谨的。需要明确是哪个齿上的齿磁密应该等于气隙磁密的两倍。根据前面讲过的齿磁密定义，这里应该明确：当气隙磁场的最大值处对准某个齿的中心线时，被对准的那个齿就是我们要选定的那个齿！选定这个齿后，为什么这个齿的齿磁密还是不等于气隙磁密的两倍呢？其中最大的原因除了上面说的这个齿的1/3齿高处那个圆的半径不等于气隙圆周半径这个原因之外，还有另外一些原因。假设在气隙圆周上齿宽等于槽宽(即齿顶宽度等于槽口宽度)，那么会不会在气隙圆周上齿顶的磁密等于气隙磁密的两倍呢？答案也是不等的，因为气隙磁密是指气隙磁密波的幅值，如果气隙磁密波是个正弦波，那么在气隙磁密幅值对齐的那个齿上通过的磁通，应该等于这个正弦波在幅值附近的一个齿距范围内积分得到的磁通值。即：
Φt=Bδ•L∫【-t/2，t/2】cos x•dx
=Bavg•L•t ⑵
而齿顶磁密：
Bt=Φt/(bt•L)=Bavg•(t/bt) ⑶
式中：Φt为通过一个齿的磁通；Bδ为气隙磁密幅值；L为铁心长度；t为齿距；bt为齿顶宽度；x为气隙圆周上的弧长；Bavg为在气隙磁密波形的幅值附近一个齿距范围内的平均值。
Bavg=(Bδ/t)∫【-t/2，t/2】cos x•dx
⑷
由⑶式可见，当齿宽等于齿距的一半，即t/bt=2时，齿磁密Bt=2Bavg，即当齿顶宽度等于槽口宽度时，齿顶磁密等于Bavg的两倍，而不是等于气隙Bδ的两倍，因为由⑷式可见，Bδ≠Bavg，但由于齿距相对于极距往往比较小，特别是在槽数比较多时，齿距与一个极距相比很小，可以认为气隙磁密Bδ≈Bavg，这样就可以认为齿磁密约等于气隙磁密的两倍，但对于多极少槽的电机，Bδ与Bavg相差会很大，就不能再认为齿磁密等于气隙磁密的两倍了，二者会相差很大！如果气隙磁密波形是一个平顶波，那么在气隙磁密幅值附近的一个齿距范围内的平均值Bavg应该与气隙磁密幅值Bδ相等，在这种情况下齿顶磁密就会等于气隙磁密的两倍。
另外需要说明的是，在以上推导过程中，都是认为气隙处的铁心长度就是铁的静长度，实际上二者是有区别的，除了跌压系数的影响外，还有可能通风道的边缘效应和铁心两端的边缘效应影响，使得铁心静长度与气隙处铁心长度不相等，在⑵式中的L应该是指气隙处的铁心长度，而⑶式中的L应该是静铁心长度，这也是造成齿磁密不是气隙磁密两倍的一个因素。
第三，以上分析是基于铁心齿部不饱和，铁的磁导率为无穷大，所有磁通进入定转子后全部走齿这条通路，槽内磁通为0。但实际上槽内的磁通是不为0的，特别是当齿部严重饱和时，就会有相当数量的磁通被挤到槽内，使得齿上通过的磁通有所减小，从而齿磁密会有所降低，这也是造成齿磁密不等于两倍气隙磁密的一个重要原因。
以上就是关于电机设计中涉及到磁密一些问题的分析解答，希望本文能够帮助部分同学在电机设计过程中澄清一些糊涂的概念，更好地提高个人的技术水平。本期内容就到这里，觉得有用别忘了打赏！点赞！转发！