Android Matrix详解

Matrix的数学原理

平移变换

旋转变换

缩放变换

错切变换

对称变换

代码验证

Matrix的数学原理

在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3 x 3的矩阵，其内容如下：

Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：

Translate 平移变换

Rotate 旋转变换

Scale 缩放变换

Skew 错切变换

从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。

针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中

set用于设置Matrix中的值。

pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。

post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。

除平移变换(Translate)外，旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0, 0)来进行相应的变换的。

下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。

一、 平移变换

假定有一个点的坐标是

，将其移动到

，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：

如下图所示：

不难知道：

如果用矩阵来表示的话，就可以写成：

二、 旋转变换

2.1 围绕坐标原点旋转：

假定有一个点

，相对坐标原点顺时针旋转

后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

那么，

如果用矩阵，就可以表示为：

2.2 围绕某个点旋转

如果是围绕某个点

顺时针旋转

，那么可以用矩阵表示为：

可以化为：

很显然，

1.

是将坐标原点移动到点

后，

的新坐标。

2.

是将上一步变换后的

，围绕新的坐标原点顺时针旋转

。

3.

经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

三、 缩放变换

理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即

用矩阵表示就是：

缩放变换比较好理解，就不多说了。

四、 错切变换

错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。

比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

假定一个点

经过错切变换后得到

，对于水平错切而言，应该有如下关系：

用矩阵表示就是：

扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式：

同理，对于垂直错切，可以有：

在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：

五、 对称变换

除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点

经过对称变换后得到

，

如果对称轴是x轴，难么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y轴，那么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y = x，如图：

那么，

很容易可以解得：

用矩阵表示就是：

同样的道理，如果对称轴是y = -x，那么用矩阵表示就是：

特殊地，如果对称轴是y = kx，如下图：

那么，

很容易可解得：

用矩阵表示就是：

当k = 0时，即y = 0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x = 0，也就是对称轴为y轴的情况；当k =1时，即y = x，也就是对称轴为y = x的情况；当k = -1时，即y = -x，也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

如果对称轴是y = kx + b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0, b)，然后做上面的关于y = kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：

需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称，那么需使用这种转换：

要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称，那么需使用这种转换：

关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况，同样需要考虑这方面的问题。

第二部分 代码验证

在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下，一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况，只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片：

其尺寸为162 x 251。

每种变换的结果，请见代码之后的说明。

[java] view plaincopy

1. <span style="font-size:13px;"></span><pre name="code" class= "java">package com.pat.testtransformmatrix;
3. import android.app.Activity;
4. import android.content.Context;
5. import android.graphics.Bitmap;
6. import android.graphics.BitmapFactory;
7. import android.graphics.Canvas;
8. import android.graphics.Matrix;
9. import android.os.Bundle;
10. import android.util.Log;
11. import android.view.MotionEvent;
12. import android.view.View;
13. import android.view.Window;
14. import android.view.WindowManager;
15. import android.view.View.OnTouchListener;
16. import android.widget.ImageView;
18. public class TestTransformMatrixActivity extends Activity
19. implements
20. OnTouchListener
21. {
22. private TransformMatrixView view;
23. @Override
24. public void onCreate(Bundle savedInstanceState)
25. {
26. super.onCreate(savedInstanceState);
27. requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);
28. this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);
30. view = new TransformMatrixView(this);
31. view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);
32. view.setOnTouchListener(this);
34. setContentView(view);
35. }
37. class TransformMatrixView extends ImageView
38. {
39. private Bitmap bitmap;
40. private Matrix matrix;
41. public TransformMatrixView(Context context)
42. {
43. super(context);
44. bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);
45. matrix = new Matrix();
46. }
48. @Override
49. protected void onDraw(Canvas canvas)
50. {
51. // 画出原图像
52. canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);
53. // 画出变换后的图像
54. canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);
55. super.onDraw(canvas);
56. }
58. @Override
59. public void setImageMatrix(Matrix matrix)
60. {
61. this.matrix.set(matrix);
62. super.setImageMatrix(matrix);
63. }
65. public Bitmap getImageBitmap()
66. {
67. return bitmap;
68. }
69. }
71. public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)
72. {
73. if(e.getAction() == MotionEvent.ACTION_UP)
74. {
75. Matrix matrix = new Matrix();
76. // 输出图像的宽度和高度(162 x 251)
77. Log.e("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " + view.getImageBitmap().getWidth() + " x " + view.getImageBitmap().getHeight());
78. // 1. 平移
79. matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
80. // 在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth()，在y轴方向view.getImageBitmap().getHeight()
81. view.setImageMatrix(matrix);
83. // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
84. float[] matrixValues = new float[9];
85. matrix.getValues(matrixValues);
86. for(int i = 0; i < 3; ++i)
87. {
88. String temp = new String();
89. for(int j = 0; j < 3; ++j)
90. {
91. temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
92. }
93. Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
94. }
97. // // 2. 旋转(围绕图像的中心点)
98. // matrix.setRotate(45f, view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
99. //
100. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
101. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);
102. // view.setImageMatrix(matrix);
103. //
104. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
105. // float[] matrixValues = new float[9];
106. // matrix.getValues(matrixValues);
107. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
108. // {
109. // String temp = new String();
110. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
111. // {
112. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
113. // }
114. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
115. // }
118. // // 3. 旋转(围绕坐标原点) + 平移(效果同2)
119. // matrix.setRotate(45f);
120. // matrix.preTranslate(-1f * view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
121. // matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
122. //
123. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
124. // matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);
125. // view.setImageMatrix(matrix);
126. //
127. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
128. // float[] matrixValues = new float[9];
129. // matrix.getValues(matrixValues);
130. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
131. // {
132. // String temp = new String();
133. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
134. // {
135. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
136. // }
137. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
138. // }
140. // // 4. 缩放
141. // matrix.setScale(2f, 2f);
142. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
143. // float[] matrixValues = new float[9];
144. // matrix.getValues(matrixValues);
145. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
146. // {
147. // String temp = new String();
148. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
149. // {
150. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
151. // }
152. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
153. // }
154. //
155. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
156. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
157. // view.setImageMatrix(matrix);
158. //
159. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
160. // matrixValues = new float[9];
161. // matrix.getValues(matrixValues);
162. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
163. // {
164. // String temp = new String();
165. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
166. // {
167. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
168. // }
169. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
170. // }
173. // // 5. 错切 - 水平
174. // matrix.setSkew(0.5f, 0f);
175. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
176. // float[] matrixValues = new float[9];
177. // matrix.getValues(matrixValues);
178. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
179. // {
180. // String temp = new String();
181. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
182. // {
183. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
184. // }
185. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
186. // }
187. //
188. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
189. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), 0f);
190. // view.setImageMatrix(matrix);
191. //
192. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
193. // matrixValues = new float[9];
194. // matrix.getValues(matrixValues);
195. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
196. // {
197. // String temp = new String();
198. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
199. // {
200. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
201. // }
202. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
203. // }
205. // // 6. 错切 - 垂直
206. // matrix.setSkew(0f, 0.5f);
207. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
208. // float[] matrixValues = new float[9];
209. // matrix.getValues(matrixValues);
210. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
211. // {
212. // String temp = new String();
213. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
214. // {
215. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
216. // }
217. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
218. // }
219. //
220. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
221. // matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());
222. // view.setImageMatrix(matrix);
223. //
224. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
225. // matrixValues = new float[9];
226. // matrix.getValues(matrixValues);
227. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
228. // {
229. // String temp = new String();
230. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
231. // {
232. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
233. // }
234. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
235. // }
237. // 7. 错切 - 水平 + 垂直
238. // matrix.setSkew(0.5f, 0.5f);
239. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
240. // float[] matrixValues = new float[9];
241. // matrix.getValues(matrixValues);
242. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
243. // {
244. // String temp = new String();
245. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
246. // {
247. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
248. // }
249. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
250. // }
251. //
252. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
253. // matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());
254. // view.setImageMatrix(matrix);
255. //
256. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
257. // matrixValues = new float[9];
258. // matrix.getValues(matrixValues);
259. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
260. // {
261. // String temp = new String();
262. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
263. // {
264. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
265. // }
266. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
267. // }
269. // // 8. 对称 (水平对称)
270. // float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
271. // matrix.setValues(matrix_values);
272. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
273. // float[] matrixValues = new float[9];
274. // matrix.getValues(matrixValues);
275. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
276. // {
277. // String temp = new String();
278. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
279. // {
280. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
281. // }
282. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
283. // }
284. //
285. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
286. // matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight() * 2f);
287. // view.setImageMatrix(matrix);
288. //
289. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
290. // matrixValues = new float[9];
291. // matrix.getValues(matrixValues);
292. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
293. // {
294. // String temp = new String();
295. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
296. // {
297. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
298. // }
299. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
300. // }
302. // // 9. 对称 - 垂直
303. // float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
304. // matrix.setValues(matrix_values);
305. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
306. // float[] matrixValues = new float[9];
307. // matrix.getValues(matrixValues);
308. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
309. // {
310. // String temp = new String();
311. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
312. // {
313. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
314. // }
315. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
316. // }
317. //
318. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
319. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 2f, 0f);
320. // view.setImageMatrix(matrix);
321. //
322. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
323. // matrixValues = new float[9];
324. // matrix.getValues(matrixValues);
325. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
326. // {
327. // String temp = new String();
328. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
329. // {
330. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
331. // }
332. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
333. // }
336. // // 10. 对称(对称轴为直线y = x)
337. // float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f};
338. // matrix.setValues(matrix_values);
339. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
340. // float[] matrixValues = new float[9];
341. // matrix.getValues(matrixValues);
342. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
343. // {
344. // String temp = new String();
345. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
346. // {
347. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
348. // }
349. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
350. // }
351. //
352. // // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
353. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth(),
354. // view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth());
355. // view.setImageMatrix(matrix);
356. //
357. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
358. // matrixValues = new float[9];
359. // matrix.getValues(matrixValues);
360. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
361. // {
362. // String temp = new String();
363. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
364. // {
365. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
366. // }
367. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
368. // }
370. view.invalidate();
371. }
372. return true;
373. }
374. }

下面给出上述代码中，各种变换的具体结果及其对应的相关变换矩阵

1. 平移

输出的结果：

请对照第一部分中的“一、平移变换”所讲的情形，考察上述矩阵的正确性。

2. 旋转(围绕图像的中心点)

输出的结果：

它实际上是

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);

这两条语句综合作用的结果。根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的公式，

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

所产生的转换矩阵就是：

而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩阵的左边再乘以下面的矩阵：

关于post是左乘这一点，我们在前面的理论部分曾经提及过，后面我们还会专门讨论这个问题。

所以它实际上就是：

出去计算上的精度误差，我们可以看到我们计算出来的结果，和程序直接输出的结果是一致的。

3. 旋转(围绕坐标原点旋转，在加上两次平移，效果同2)

根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的解释，不难知道：

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

等价于

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

其中matrix.setRotate(45f)对应的矩阵是：

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)对应的矩阵是：

由于是preTranslate，是先乘，也就是右乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的右侧。

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)对应的矩阵是：

这次由于是postTranslate，是后乘，也就是左乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的左侧。

所以综合起来，

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

对应的矩阵就是：

这和下面这个矩阵(围绕图像中心顺时针旋转45度)其实是一样的：

因此，此处变换后的图像和2中变换后的图像时一样的。

4. 缩放变换

程序所输出的两个矩阵分别是：

其中第二个矩阵，其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“三、缩放变换”和“一、平移变换”说法，自行验证结果。

5. 错切变换(水平错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

6. 错切变换(垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

7. 错切变换(水平+垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

8. 对称变换(水平对称)

代码所输出的两个各矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

9. 对称变换(垂直对称)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

10. 对称变换(对称轴为直线y = x)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

11. 关于先乘和后乘的问题

由于矩阵的乘法运算不满足交换律，我们在前面曾经多次提及先乘、后乘的问题，即先乘就是矩阵运算中右乘，后乘就是矩阵运算中的左乘。其实先乘、后乘的概念是针对变换操作的时间先后而言的，左乘、右乘是针对矩阵运算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例：

越靠近原图像中像素的矩阵，越先乘，越远离原图像中像素的矩阵，越后乘。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边的矩阵(右乘)，越先运算(先乘)，反之亦然。

当然，在实际中，如果首先指定了一个matrix，比如我们先setRotate(

)，即指定了上面变换矩阵中，中间的那个矩阵，那么后续的矩阵到底是pre还是post运算，都是相对这个中间矩阵而言的。