时间和空间复杂度
算法效率
❤️❤️下面求斐波那契数列的算法效率高还是不高？为什么？该如何衡量一个算法的效率呢？
public static long Fib(int N){
if(N < 3){
return 1;
}
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}❤️❤️算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间， 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。重点变成了关注时间复杂度。
时间复杂度
时间复杂度的概念
🎯🎯时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我 们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
大O的渐进表示法
// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; i++) {
for (int j = 0; j < N ; j++) {
count++;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}
❤️❤️实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
🎯🎯大O的渐进表示法规则
🎯🎯规则如下： 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 之后的实例题目中会有体现。 大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
🎯🎯另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况： 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数（中间） 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界） 例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到 平均情况：N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以时间复杂度为O(N)都为最坏情况的次数。
常见时间复杂度计算举例
/ 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}❤️❤️当有两个实际参数时，因为它们都是未知数，所以在实际次数转变为大O渐进表示法时这两个参数互不影响，各自遵从自己的规则，在转化时互不干扰。
所以实例2基本操作执行了M+N次，时间复杂度为 O(N+M)
// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {
count++;
}
}实例3基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}实例4基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N-1))/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
/ 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
int begin = 0;
int end = array.length - 1;
while (begin <= end) {
int mid = begin + ((end-begin) / 2);
if (array[mid] < value)
begin = mid + 1;
else if (array[mid] > value)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}❤️❤️该代码通过二分法去找数据,因为二分查找每次排除掉一半的不适合值,而后剩下1/2再去分一半去查找，如此循环，直到找到。
所以实例5基本操作执行最好1次，最坏log2（N）次，所以时间复杂度为 O(log2 N ) .
在这里还说一点对于大O的渐进表示法里如果是指数形式的话其实O（log2 N ）和O(log3 N)一样，只要对数一样就行。所以也可以写成O（log N）
// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}实例6通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}❤️❤️实例7通过粗步分析发现基本操作递归了2^N 次（粗步分析得出的，跟实际的次数肯定不一样），时间复杂度为O(2^N )。
❤️❤️虽然它不是满叉树，但我们可以认为它是一个满叉树，因为复杂度本身就是粗步估计，而这缺失的那部分对于整体来说的次数是可以忽略不记不影响结果的，所以当我们认为是满叉树时其N的时间复杂度就利用等比求和公式得O（2^N），（上图就是当N为5时的实际叉树图，我们可以认为它是一个高度为5的满叉树，这并不影响其时间复杂度）所以用该思想更容易得出时间复杂度。
空间复杂度
空间复杂度的概念
相比于时间复杂度，空间复杂度我们关注的比较少，我们更关心时间复杂度。但是虽然是这样的现状，我们还是要清楚了解空间复杂度。 空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是在该算法中所创建的变量空间的个数。（实际参数也算算法内部创建出的变量） 🎯🎯注意空间复杂度指的是是创建的变量空间的个数，而且这些空间都必须是不同空间，不能是同一个空间（这里可能你们还是有点不懂，举个例子，假如我用for循环 循环创建了10个变量，但是这10个变量由于是循环创建，所以所在的空间都是同一个，空间复杂度其实就是1，用O（1）表示） 空间复杂度计算规则跟时间复杂度一样，也使用大O渐进表示法。大O渐进表示法的规则在讲时间复杂度时已经说过了，这里就不多说其规则了。
常见空间复杂度计算举例
// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}❤️❤️实例1中创建了4个不同的空间，分别是array创建的空间，sorted创建的空间，end创建的空间，i创建的空间。其中i由于循环创建了多次空间，但都是同一个空间，所以只将它算作一个， 所以空间复杂度为 O(1)。
// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}实例2共开辟了n+2个不同空间，数组创建开辟了n+1个空间，i创建开辟了一个空间。所以空间复杂度为 O(N)
// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}❤️❤️实例3调用了N次递归，开辟了N个栈帧，这里的每个栈帧都是不同的空间，而每个栈帧里都创建了1个变量空间（实际参数N所创建的一个变量空间）。所以共创建了N个不同的变量空间，空间复杂度为O(N)。🎉🎉