二叉树：数据结构的分形之美

1.树形结构

1.1概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把他叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就说它的根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1,T2,T3,...,Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的

1.2关于树的一些重要概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度，如上图：A的为6

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度，如上图：树的度为6

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点，如上图：B,C,H,I...等节点为叶节点

双亲节点或父亲节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点，如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点若含有的子树的根节点称为该节点的子节点，如上图：B是A的孩子节点

根结点：一棵树中没有双亲结点的结点

节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次，如上图：树的高度为4

非终端节点或分支节点：度不为0的节点，如上图：D,E,F,G...等节点为分支节点

兄弟节点：具有相同父亲节点的节点互为兄弟节点，如上图：B，C互为兄弟节点

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图：H，I互为堂兄弟节点

节点祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙，如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林

1.3树的表示形式(Java)

树的结构相对于线性表就比较复杂了，要储存表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多表示方式，如：双亲表示法，孩子兄弟表示法等等。这里我们了解一下最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {         int value;                        //树中存储的数据         Node firstChild;              //第一个孩子引用         Node nextBrother;         //下一个兄弟引用 }

1.4树的应用

文件系统是操作系统中负责管理文件存储和访问的组成部分，而树结构在这一领域中扮演着至关重要的角色。以下是树在文件系统管理中的几个关键应用：

1. 目录结构：文件系统中的目录和子目录通常被组织成树形结构。这种层次化的组织结构使得文件的分组和管理变得直观且高效。每个目录可以看作是树中的一个节点，子目录和文件则作为其子节点。这样的结构方便用户对文件进行分组，并且能够清晰地表示出文件之间的层级关系。
2. 文件索引：在更复杂的文件系统中，比如那些需要快速数据检索的系统中，会使用特殊的树形数据结构，例如B树或B+树。这些数据结构能够提供快速的查找、插入和删除操作。它们常用于构建文件系统的索引，帮助提高访问和检索文件的速度。
3. 空间分配：某些文件系统会利用树结构来管理磁盘空间的分配。例如，在文件系统中，磁盘空间可以被划分为一个个区块（block），而这些区块可以通过树形结构来组织，从而高效地管理和分配磁盘空间。
4. 文件系统元数据管理：文件系统的元数据，如文件大小、创建时间、修改时间等信息，也需要得到有效管理。树结构在这里同样发挥作用，它可以帮助维护这些元数据的有序性和可查询性。
5. 稳定性与可靠性：自平衡的树结构，如AVL树或红黑树，可以确保在频繁的文件增加、删除操作下，文件系统的性能仍然保持稳定。这对于保持文件系统的响应速度和可靠性至关重要。
6. 支持并发操作：现代文件系统往往需要支持多任务环境下的并发访问。某些树结构设计，如读写锁或版本控制机制，可以集成到文件系统中，以安全地处理并发操作，防止数据损坏。
7. 容错与恢复：在分布式文件系统中，树结构有助于实现数据的冗余存储和容错处理。通过适当的复制和分布策略，即使在硬件故障的情况下也能保证数据的安全和完整性。
8. 优化存储效率：某些树结构能够帮助文件系统优化存储空间的使用。例如，通过合理地组织数据以减少碎片，或者动态调整存储结构以适应不断变化的数据量和访问模式。
9. 支持多种文件系统特性：包括快照、克隆以及远程同步等高级功能，都可能依赖于树结构来实现其核心逻辑。
10. 兼容性与标准化：由于树结构在文件系统设计中的普遍应用，它有助于不同操作系统和应用程序之间实现更好的兼容性和标准化。

总的来说，树结构在文件系统的设计和管理中发挥着多方面的作用，从基本的目录管理到高级的数据索引和存储优化，都离不开这种灵活而强大的数据结构。

Linux的文件系统管理：

2.二叉树

2.1概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，或者是由一个根节点加上两棵树被为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树，只有根节点的二叉树，节点只有左子树，节点只有右子树，节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

2.3两种特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点数总是2^K-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树由满二叉树引出来的对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点，对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的而二叉树的最大结点数2^k-1(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2的非叶结点个数为n2，则有n0=n2+1
4. 具有n个结点的完全二叉树深度k为log

\log_{2}(n+1)

上取整

1. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的节点有：

• 若i>0,双亲序号：(i-1)/2,i=0,i为根节点编号，无双亲结点
• 若2i+1<n,左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2<n,右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

比如：假设一棵完全二叉树中共有1000个节点，则该二叉树中__个叶子节点,__个非叶子节点,__个节点只有左孩子,__个节点只有右孩子。

完全二叉树的性质是：除了最后一层外，其他各层的节点数都达到最大个数，并且最后一层的节点都集中在该层最左边的若干位置上。

首先，对于一棵完全二叉树，如果其节点总数为n，则它的层数k（从根节点开始计数）满足： 2k−1≤n<2k，对于本题，n=1000，则：29=512≤1000<210=1024，所以，k=10。

接下来，我们分析各部分的节点数：

1. 叶子节点数： 由于是完全二叉树，最后一层的节点都是叶子节点。前k−1层（即前9层）的节点总数为2k−1−1=29−1=511（因为根节点不计算在内）。 所以，最后一层的节点数为1000−511=489，即叶子节点数为489。
2. 非叶子节点数： 非叶子节点数 = 总节点数 - 叶子节点数 = 1000−489=511。
3. 只有左孩子的节点数： 对于完全二叉树，只有左孩子的节点出现在最后一层的左边，且其右兄弟节点不存在。 由于最后一层有489个节点，且这些节点都是叶子节点，所以只有左孩子的节点数 = 最后一层的节点数 - 最后一层最右边的节点数（即只有右孩子的节点数）。 由于完全二叉树的性质，最后一层最右边的节点数不会超过22k−2k−1​=229​=256（即第10层的一半）。 但由于256<489，所以最后一层最右边的节点数就是256（即所有可能的只有右孩子的节点）。 因此，只有左孩子的节点数 = 489−256=233。
4. 只有右孩子的节点数： 由上面的分析可知，只有右孩子的节点数 = 最后一层最右边的节点数 = 256。

综上，该完全二叉树有489个叶子节点，511个非叶子节点，233个节点只有左孩子，256个节点只有右孩子。

2.5二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。我们先来看下链式存储，二叉树的链式存储是通过一个个的节点引用起来的，最常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

//孩子表示法 class Node {         int val;                //数据域         Node left;           //左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树         Node right;        //右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 } //孩子双亲表示法 class Node {         int val;                //数据域        Node left;           //左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树         Node right;        //右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树         Node parent;    //当前节点的根节点 }

2.6二叉树的基本操作

2.6.1二叉树的遍历

所谓的遍历是指沿着某条搜索路线，依次对树中的每个结点均做一次且做一次访问。访问结点所做的操作就依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容，节点内容加一)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算的基础。而二叉树的遍历是指按照某种规则访问树中每个节点的过程，确保每个节点被访问一次且仅一次。通常有四种基本的遍历方法：

1. 前序遍历（Pre-order Traversal）：首先访问根节点，然后按前序遍历左子树，最后按前序遍历右子树。记作DLR，其中D代表访问根节点，L和R分别代表遍历左、右子树。
2. 中序遍历（In-order Traversal）：首先按中序遍历左子树，然后访问根节点，最后按中序遍历右子树。记作LDR。对于二叉搜索树（BST），这种遍历方式可以得到节点的升序排列。
3. 后序遍历（Post-order Traversal）：首先按后序遍历左子树，然后按后序遍历右子树，最后访问根节点。记作LRD。
4. 层次遍历（Level-order Traversal）：从根节点开始，先访问同一层的节点，再逐层向下访问。层次遍历通常需要一个队列来实现。

值得一提的是，在编程实践中，递归是实现这些遍历方法的常见方式，但也可以使用栈或队列等数据结构以非递归的方式实现。不同的遍历策略适用于不同的场景，例如，在二叉搜索树中查找特定值时常用中序遍历，而在执行某些类型的树操作时可能会选择其他类型的遍历。

根据以上的概念，我们可以得到以下二叉树的四种遍历方式的结果：

前序遍历：ABDEHCFG

中序遍历：DBEHAFCG

后序遍历：DEHBFGCA

层序遍历：ABCDEFGH