【数据结构】树与二叉树：结构、性质与存储

树与二叉树：结构、性质与存储

✨前言：在数据结构的学习中，树结构作为一种非常重要的非线性数据结构，广泛应用于文件系统、数据库索引、网络路由等众多领域。本文将系统介绍树与二叉树的基本概念、特性及其存储结构，为后续更深入的学习树形结构打下基础。 📖专栏：【数据结构】

一、树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。 即：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点;
• 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继;
• 因此，树是递归定义的。

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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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1.2 树的相关概念

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结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6 叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点 树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推； 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用，也是最巧妙的方法——孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{
 	struct Node* firstChild1;  // 第一个孩子结点
	struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType data;             // 结点中的数据域
};

它的巧妙之处在于，它用二叉树的结构来优雅地表示和实现一棵普通的树（可能有多于2个子节点）。可说它是将一棵“多叉树”转化为“二叉树”，二叉树后面会说，我们也可以看下面的图来了解它的巧妙之处：

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1.4 树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）

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二、二叉树概念及结构

简单理解——两个叉的树

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空;
2. 或者由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成;

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从上图可以看出： 1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

在这里，我们就可以得知：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

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2.2 现实中的二叉树

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2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

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1. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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2.4 二叉树的性质及证明

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第h层上最多有2^(h-1)个结点.

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1. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.

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1. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1.

这个我们用假设法来证明， 对只有一个节点的二叉树，其n0 = 1，n2 = 0; 符合n0＝ n2＋1. 在此基础上， 1）我们可以加上一个度为1的点，如下图，此时，n0 = 1, n2 = 0, 符合n0＝ n2＋1.

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2）我们还可以可以加上一个度为2的点，如下图，此时，n0 = 2, n2 = 1, 符合n0＝ n2＋1.

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再增加二叉树的节点，还会回复上面的情况，n0＝ n2＋1恒成立。

1. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1). (ps： 是log以2为底，n+1为对数)

在第二个性质的基础上进行计算：

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1. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有： 1. 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点 2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子 3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

画个图就显而易见了：

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在这里，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2，而为什么不是分情况，这就是**/**的吗妙用，举个例子，对于i=3时，(3-1)/2 = 1，对于i=4时，(4-1)/2 = 1，即不用分情况。

三、二叉树的存储结构

和其他数据结构相同，二叉树也可以使用两种结构存储**，一种顺序结构，一种链式结构。**

3.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆的讲解后面会进一步更新。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

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3.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

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代码实现

typedef int BTDataType;

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left;  // 指向当前结点左孩子
    struct BinaryTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子
    BTDataType data;              // 当前结点值域
};

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* parent; // 指向当前结点的双亲
    struct BinaryTreeNode* left;   // 指向当前结点左孩子
    struct BinaryTreeNode* right;  // 指向当前结点右孩子
    BTDataType data;               // 当前结点值域
};

对于顺序存储和链式存储我会在后续文章中在进行详细的讲解，这篇文章主要是对于一些基本概念的论述。

四、总结

理解树与二叉树的基本概念是学习更复杂树形结构（如AVL树、红黑树、B树等）的基础，也是掌握许多高级算法（如霍夫曼编码、决策树等）的前提。后续文章将进一步深入探讨二叉树的具体实现和应用。