《算法导论》第 17 章 - 摊还分析

啊阿狸不会拉杆

发布于 2026-01-21 13:23:54

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引言

摊还分析是算法分析中的一种重要技术，用于分析一个操作序列的平均代价。与最坏情况分析不同，摊还分析关注的是一系列操作的整体性能，而不是单个操作的最坏情况。这种分析方法对于评估那些偶尔会执行昂贵操作，但大多数时候操作都很高效的数据结构特别有用。

本文将详细讲解《算法导论》第 17 章介绍的三种摊还分析方法：聚合分析、核算法和势能法，并通过动态表的例子展示这些方法的应用。

思维导图

17.1 聚合分析

方法概述

聚合分析（Aggregate Analysis）是最简单的摊还分析方法。它的基本思想是：对所有操作序列，计算其总代价的上界，然后将这个总代价除以操作数，得到每个操作的平均代价，这个平均代价就是每个操作的摊还代价。

聚合分析的步骤：

确定所有可能的操作
找到一个操作序列的总代价的上界
每个操作的摊还代价为总代价除以操作数

案例分析：栈操作

考虑栈的三种操作：

push(S, x)：将元素 x 压入栈 S
pop(S)：弹出栈顶元素
multipop(S, k)：弹出栈顶 k 个元素（或弹出栈中所有元素，如果栈中元素少于 k 个）

最坏情况分析：

push和pop操作的代价为 O (1)
multipop操作的代价为 O (n)，其中 n 是栈的大小

聚合分析：考虑一个包含 n 个操作的序列，每个元素最多被压入栈一次，弹出一次。因此，n 个操作的总代价为 O (n)，每个操作的摊还代价为 O (1)。

代码实现

下面是栈操作的 C++ 实现，包含了基本操作和代价统计：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

// 实现一个支持push、pop和multipop操作的栈
template <typename T>
class Stack {
private:
    vector<T> elements;  // 存储栈元素
    int total_cost;      // 记录总操作代价
    
public:
    // 构造函数
    Stack() : total_cost(0) {}
    
    // 入栈操作
    void push(const T& element) {
        elements.push_back(element);
        total_cost += 1;  // push操作代价为1
    }
    
    // 出栈操作
    T pop() {
        if (elements.empty()) {
            throw runtime_error("Stack is empty");
        }
        
        T top = elements.back();
        elements.pop_back();
        total_cost += 1;  // pop操作代价为1
        return top;
    }
    
    // 批量出栈操作
    void multipop(int k) {
        int pop_count = min(k, (int)elements.size());
        for (int i = 0; i < pop_count; ++i) {
            elements.pop_back();
        }
        total_cost += pop_count;  // multipop代价为弹出的元素数量
    }
    
    // 判断栈是否为空
    bool isEmpty() const {
        return elements.empty();
    }
    
    // 获取栈大小
    int size() const {
        return elements.size();
    }
    
    // 获取总操作代价
    int getTotalCost() const {
        return total_cost;
    }
    
    // 重置代价计数器
    void resetCost() {
        total_cost = 0;
    }
};

int main() {
    Stack<int> s;
    int num_operations = 0;
    
    // 执行一系列栈操作
    try {
        cout << "执行栈操作序列：" << endl;
        cout << "push(1)";
        s.push(1);
        num_operations++;
        
        cout << "\npush(2)";
        s.push(2);
        num_operations++;
        
        cout << "\npush(3)";
        s.push(3);
        num_operations++;
        
        cout << "\npop() -> 返回值: " << s.pop();
        num_operations++;
        
        cout << "\npush(4)";
        s.push(4);
        num_operations++;
        
        cout << "\nmultipop(2)";
        s.multipop(2);
        num_operations++;
        
        cout << "\n当前栈大小: " << s.size() << endl;
        cout << "总操作次数: " << num_operations << endl;
        cout << "总操作代价: " << s.getTotalCost() << endl;
        cout << "每个操作的摊还代价: " << (double)s.getTotalCost() / num_operations << endl;
    } catch (const exception& e) {
        cout << "\n错误: " << e.what() << endl;
    }
    
    return 0;
}

代码说明

上述代码实现了一个支持push、pop和multipop操作的栈，并统计了操作的总代价。通过聚合分析，我们可以看到尽管multipop操作在最坏情况下代价很高，但一系列操作的平均代价仍然是 O (1)。

这表明在这个操作序列中，每个操作的平均代价为 1，验证了我们的聚合分析结论。

17.2 核算法

方法概述

核算法（Accounting Method）为不同的操作分配不同的摊还代价，某些操作的摊还代价可能高于其实际代价，而其他操作的摊还代价可能低于其实际代价。"核" 表示存储的信用，可以用来支付未来操作的代价。

核算法的关键思想：

为每种操作分配一个摊还代价
当摊还代价高于实际代价时，将差额存储为信用
当摊还代价低于实际代价时，使用之前存储的信用来弥补差额
确保总信用始终非负

案例分析：二进制计数器

考虑一个二进制计数器递增的操作increment。我们可以使用核算法分析这个操作的摊还代价。

实际代价：在increment操作中，翻转的位数就是实际代价。例如，将 1011 变为 1100 需要翻转 3 位（最后三位），实际代价为 3。

摊还代价分配：

为increment操作分配 2 的摊还代价
当某个位从 0 翻转为 1 时，存储 1 个信用（用于未来将其翻转为 0）
当某个位从 1 翻转为 0 时，使用之前存储的 1 个信用支付翻转代价

通过这种分配方式，总信用始终非负，且每个increment操作的摊还代价为 O (1)。

代码实现

下面是二进制计数器的实现，使用核算法进行代价分析：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <string>

using namespace std;

// 二进制计数器类，使用核算法分析increment操作
class BinaryCounter {
private:
    vector<bool> bits;  // 存储二进制位，bits[0]是最低位
    int total_actual_cost;  // 总实际代价
    int total_amortized_cost;  // 总摊还代价
    int credit;  // 信用值
    
    // 确保有足够的位数，必要时扩展
    void ensureCapacity() {
        bits.push_back(false);  // 扩展一位，初始为0
    }
    
public:
    // 构造函数，初始值为0
    BinaryCounter() : total_actual_cost(0), total_amortized_cost(0), credit(0) {
        bits.push_back(false);  // 初始有一位，值为0
    }
    
    // 递增操作
    void increment() {
        int i = 0;
        int actual_cost = 0;
        
        // 翻转所有连续的1
        while (i < bits.size() && bits[i]) {
            bits[i] = false;  // 1翻转为0
            i++;
            actual_cost++;
            credit--;  // 使用1个信用支付翻转代价
        }
        
        // 如果还有位，翻转最左边的0
        if (i < bits.size()) {
            bits[i] = true;  // 0翻转为1
            actual_cost++;
            credit++;  // 存储1个信用，用于未来翻转
        } else {
            // 如果所有位都是1，需要扩展
            ensureCapacity();
            bits[i] = true;  // 新位翻转为1
            actual_cost++;
            credit++;  // 存储1个信用，用于未来翻转
        }
        
        // 核算法中，为increment操作分配2的摊还代价
        int amortized_cost = 2;
        credit += (amortized_cost - actual_cost);
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
        
        // 检查信用是否非负（核算法的要求）
        if (credit < 0) {
            cerr << "警告：信用变为负数，摊还代价分配不合理！" << endl;
        }
    }
    
    // 获取当前计数值
    int getValue() const {
        int value = 0;
        int power = 1;
        for (bool bit : bits) {
            if (bit) {
                value += power;
            }
            power *= 2;
        }
        return value;
    }
    
    // 打印二进制表示
    void printBinary() const {
        cout << "二进制表示: ";
        for (auto it = bits.rbegin(); it != bits.rend(); ++it) {
            cout << (*it ? "1" : "0");
        }
        cout << endl;
    }
    
    // 获取二进制表示的字符串
    string getBinaryString() const {
        string binary;
        for (auto it = bits.rbegin(); it != bits.rend(); ++it) {
            binary += (*it ? "1" : "0");
        }
        return binary;
    }
    
    // 获取总实际代价
    int getTotalActualCost() const {
        return total_actual_cost;
    }
    
    // 获取总摊还代价
    int getTotalAmortizedCost() const {
        return total_amortized_cost;
    }
    
    // 获取当前信用值
    int getCredit() const {
        return credit;
    }
};

int main() {
    BinaryCounter counter;
    
    // 执行10次递增操作
    int num_operations = 10;
    cout << "执行" << num_operations << "次increment操作：" << endl;
    cout << left << setw(10) << "操作次数" << setw(15) << "计数值" << setw(20) << "二进制表示" 
         << setw(15) << "当前信用" << setw(15) << "累计实际代价" << "累计摊还代价" << endl;
    cout << string(80, '-') << endl;
    
    for (int i = 0; i < num_operations; ++i) {
        counter.increment();
        cout << left << setw(10) << (i + 1) 
             << setw(15) << counter.getValue()
             << setw(20) << counter.getBinaryString()
             << setw(15) << counter.getCredit()
             << setw(15) << counter.getTotalActualCost()
             << counter.getTotalAmortizedCost() << endl;
    }
    
    cout << string(80, '-') << endl;
    cout << "平均实际代价: " << (double)counter.getTotalActualCost() / num_operations << endl;
    cout << "平均摊还代价: " << (double)counter.getTotalAmortizedCost() / num_operations << endl;
    
    return 0;
}

代码说明

上述代码实现了一个二进制计数器，并使用核算法分析了increment操作的代价。我们为每个increment操作分配了 2 的摊还代价，通过信用机制平衡了不同操作的实际代价。

运行程序后，你会看到每次递增操作后的计数值、二进制表示、当前信用以及累计代价。从输出结果可以看出，尽管某些increment操作的实际代价较高（如从 3 到 4 需要翻转 3 位），但通过核算法分配的摊还代价始终为 2，且信用始终保持非负。

17.3 势能法

方法概述

势能法（Potential Method）是另一种常用的摊还分析方法。它通过定义一个势能函数（potential function）将数据结构的状态映射到一个非负的势能值。摊还代价由实际代价加上势能的变化组成。

势能法的核心概念：

定义一个势能函数 Φ，将数据结构的状态映射到非负实数
操作的摊还代价为：\(\hat{c}_i = c_i + Φ(D_i) - Φ(D_{i-1})\)
总摊还代价是总实际代价加上最终势能与初始势能之差
确保势能函数始终非负，且初始势能 Φ(D₀) ≥ 0

势能法的优势在于它不需要跟踪每个对象的信用，而是通过整个数据结构的势能变化来计算摊还代价。

案例分析：栈操作的势能法分析

我们再次分析栈的push、pop和multipop操作，但这次使用势能法：

定义势能函数：令 Φ(S) 为栈 S 中元素的数量，即栈的大小。

摊还代价计算：

push操作：实际代价 c=1，势能变化为 Φ(S') - Φ(S) = 1，所以摊还代价\(\hat{c}\)=1+1=2
pop操作：实际代价 c=1，势能变化为 Φ(S') - Φ(S) = -1，所以摊还代价\(\hat{c}\)=1+(-1)=0
multipop(k)操作：假设弹出 k' 个元素，实际代价 c=k'，势能变化为 Φ(S') - Φ(S) = -k'，所以摊还代价\(\hat{c}\)=k' + (-k')=0

通过这种分析，每个操作的摊还代价都是非负的，且 n 个操作的总摊还代价是 O (n)。

代码实现

下面是使用势能法分析栈操作的实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <iomanip>

using namespace std;

// 使用势能法分析的栈类
template <typename T>
class PotentialStack {
private:
    vector<T> elements;  // 存储栈元素
    int total_actual_cost;  // 总实际代价
    int total_amortized_cost;  // 总摊还代价
    
    // 势能函数：栈中元素的数量
    int potential() const {
        return elements.size();
    }
    
public:
    // 构造函数
    PotentialStack() : total_actual_cost(0), total_amortized_cost(0) {}
    
    // 入栈操作
    void push(const T& element) {
        int old_potential = potential();  // 操作前的势能
        elements.push_back(element);
        int actual_cost = 1;  // push操作的实际代价
        
        int new_potential = potential();  // 操作后的势能
        int amortized_cost = actual_cost + (new_potential - old_potential);  // 计算摊还代价
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
    }
    
    // 出栈操作
    T pop() {
        if (elements.empty()) {
            throw runtime_error("Stack is empty");
        }
        
        int old_potential = potential();  // 操作前的势能
        T top = elements.back();
        elements.pop_back();
        int actual_cost = 1;  // pop操作的实际代价
        
        int new_potential = potential();  // 操作后的势能
        int amortized_cost = actual_cost + (new_potential - old_potential);  // 计算摊还代价
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
        
        return top;
    }
    
    // 批量出栈操作
    void multipop(int k) {
        if (elements.empty()) {
            return;
        }
        
        int old_potential = potential();  // 操作前的势能
        int pop_count = min(k, (int)elements.size());
        
        for (int i = 0; i < pop_count; ++i) {
            elements.pop_back();
        }
        
        int actual_cost = pop_count;  // multipop操作的实际代价
        int new_potential = potential();  // 操作后的势能
        int amortized_cost = actual_cost + (new_potential - old_potential);  // 计算摊还代价
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
    }
    
    // 判断栈是否为空
    bool isEmpty() const {
        return elements.empty();
    }
    
    // 获取栈大小
    int size() const {
        return elements.size();
    }
    
    // 获取总实际代价
    int getTotalActualCost() const {
        return total_actual_cost;
    }
    
    // 获取总摊还代价
    int getTotalAmortizedCost() const {
        return total_amortized_cost;
    }
    
    // 重置代价计数器
    void resetCost() {
        total_actual_cost = 0;
        total_amortized_cost = 0;
    }
};

// 记录操作的结构体
struct Operation {
    string type;  // 操作类型：push, pop, multipop
    int parameter;  // 参数：push的值，multipop的数量
    int actual_cost;  // 实际代价
    int amortized_cost;  // 摊还代价
    int potential;  // 操作后的势能
};

int main() {
    PotentialStack<int> s;
    vector<Operation> operations;
    int prev_total_actual = 0;
    int prev_total_amortized = 0;
    
    // 执行一系列栈操作
    try {
        // push(1)
        prev_total_actual = s.getTotalActualCost();
        prev_total_amortized = s.getTotalAmortizedCost();
        s.push(1);
        operations.push_back({
            "push", 1,
            s.getTotalActualCost() - prev_total_actual,
            s.getTotalAmortizedCost() - prev_total_amortized,
            s.size()
        });
        
        // push(2)
        prev_total_actual = s.getTotalActualCost();
        prev_total_amortized = s.getTotalAmortizedCost();
        s.push(2);
        operations.push_back({
            "push", 2,
            s.getTotalActualCost() - prev_total_actual,
            s.getTotalAmortizedCost() - prev_total_amortized,
            s.size()
        });
        
        // push(3)
        prev_total_actual = s.getTotalActualCost();
        prev_total_amortized = s.getTotalAmortizedCost();
        s.push(3);
        operations.push_back({
            "push", 3,
            s.getTotalActualCost() - prev_total_actual,
            s.getTotalAmortizedCost() - prev_total_amortized,
            s.size()
        });
        
        // pop()
        prev_total_actual = s.getTotalActualCost();
        prev_total_amortized = s.getTotalAmortizedCost();
        s.pop();
        operations.push_back({
            "pop", 0,
            s.getTotalActualCost() - prev_total_actual,
            s.getTotalAmortizedCost() - prev_total_amortized,
            s.size()
        });
        
        // push(4)
        prev_total_actual = s.getTotalActualCost();
        prev_total_amortized = s.getTotalAmortizedCost();
        s.push(4);
        operations.push_back({
            "push", 4,
            s.getTotalActualCost() - prev_total_actual,
            s.getTotalAmortizedCost() - prev_total_amortized,
            s.size()
        });
        
        // multipop(2)
        prev_total_actual = s.getTotalActualCost();
        prev_total_amortized = s.getTotalAmortizedCost();
        s.multipop(2);
        operations.push_back({
            "multipop", 2,
            s.getTotalActualCost() - prev_total_actual,
            s.getTotalAmortizedCost() - prev_total_amortized,
            s.size()
        });
        
        // 输出操作结果
        cout << "栈操作序列及势能法分析：" << endl;
        cout << left << setw(15) << "操作" << setw(15) << "实际代价" 
             << setw(15) << "摊还代价" << "操作后势能" << endl;
        cout << string(60, '-') << endl;
        
        for (const auto& op : operations) {
            string op_desc = op.type;
            if (op.type == "push") op_desc += "(" + to_string(op.parameter) + ")";
            else if (op.type == "multipop") op_desc += "(" + to_string(op.parameter) + ")";
            
            cout << left << setw(15) << op_desc
                 << setw(15) << op.actual_cost
                 << setw(15) << op.amortized_cost
                 << op.potential << endl;
        }
        
        cout << string(60, '-') << endl;
        cout << "总操作次数: " << operations.size() << endl;
        cout << "总实际代价: " << s.getTotalActualCost() << endl;
        cout << "总摊还代价: " << s.getTotalAmortizedCost() << endl;
        cout << "平均实际代价: " << (double)s.getTotalActualCost() / operations.size() << endl;
        cout << "平均摊还代价: " << (double)s.getTotalAmortizedCost() / operations.size() << endl;
    } catch (const exception& e) {
        cout << "错误: " << e.what() << endl;
    }
    
    return 0;
}

代码说明

上述代码实现了一个栈，并使用势能法分析了各个操作的摊还代价。我们选择栈的大小作为势能函数，通过计算每次操作前后的势能变化来得到摊还代价。

运行程序后，你可以清楚地看到每个操作的实际代价、摊还代价以及操作后的势能值。从结果中可以验证：

push操作的摊还代价为 2
pop操作的摊还代价为 0
multipop操作的摊还代价为 0

尽管某些操作的实际代价可能较高（如multipop），但通过势能法计算的摊还代价平衡了这些差异，使得一系列操作的平均代价保持在较低水平。

17.4 动态表

动态表是摊还分析的一个重要应用场景。动态表能够根据需要自动扩张或收缩，以适应元素数量的变化。在这一节中，我们将分析动态表的扩张和收缩操作的摊还代价。

17.4.1 表扩张

方法概述

当表已满时，插入新元素需要进行表扩张：

分配一个更大的表（通常是原大小的两倍）
将原表中的所有元素复制到新表中
释放原表的空间
插入新元素

如果简单地进行最坏情况分析，插入操作的代价可能是 O (n)（当需要扩张时）。但使用摊还分析，我们可以证明插入操作的摊还代价是 O (1)。

使用势能法分析表扩张：

定义势能函数：Φ(T) = 2・num [T] - size [T]，其中 num [T] 是表中元素数量，size [T] 是表的大小
当表未满时插入元素，势能增加 1，摊还代价为 2
当表满时插入元素（需要扩张），势能变化为 -(size [T]-1)，摊还代价为 2

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>

using namespace std;

// 支持自动扩张的动态表
template <typename T>
class DynamicTable {
private:
    T* table;       // 存储元素的数组
    int num;        // 当前元素数量
    int size;       // 表的当前容量
    int total_actual_cost;  // 总实际代价
    int total_amortized_cost;  // 总摊还代价
    
    // 计算势能函数：Φ(T) = 2·num - size
    int potential() const {
        return 2 * num - size;
    }
    
    // 扩张表：将容量翻倍
    void expand() {
        int old_size = size;
        size = (size == 0) ? 1 : size * 2;  // 如果是空表，初始容量为1
        
        // 分配新表
        T* new_table = new T[size];
        
        // 复制元素
        for (int i = 0; i < num; ++i) {
            new_table[i] = table[i];
        }
        
        // 释放旧表
        if (old_size > 0) {
            delete[] table;
        }
        
        table = new_table;
    }
    
public:
    // 构造函数
    DynamicTable() : table(nullptr), num(0), size(0), 
                     total_actual_cost(0), total_amortized_cost(0) {}
    
    // 析构函数
    ~DynamicTable() {
        if (table != nullptr) {
            delete[] table;
        }
    }
    
    // 插入元素
    void insert(const T& element) {
        int old_potential = potential();  // 操作前的势能
        
        int actual_cost = 1;  // 插入操作的基本代价
        
        // 如果表已满，需要扩张
        if (num == size) {
            actual_cost += num;  // 加上复制所有元素的代价
            expand();
        }
        
        // 插入新元素
        table[num++] = element;
        
        // 计算摊还代价
        int new_potential = potential();
        int amortized_cost = actual_cost + (new_potential - old_potential);
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
    }
    
    // 获取元素数量
    int getNum() const {
        return num;
    }
    
    // 获取表容量
    int getSize() const {
        return size;
    }
    
    // 获取总实际代价
    int getTotalActualCost() const {
        return total_actual_cost;
    }
    
    // 获取总摊还代价
    int getTotalAmortizedCost() const {
        return total_amortized_cost;
    }
    
    // 获取指定索引的元素
    T getElement(int index) const {
        if (index < 0 || index >= num) {
            throw out_of_range("Index out of range");
        }
        return table[index];
    }
};

int main() {
    DynamicTable<int> dt;
    
    // 执行20次插入操作
    int num_insertions = 20;
    cout << "执行" << num_insertions << "次插入操作：" << endl;
    cout << left << setw(10) << "插入次数" << setw(10) << "元素数" 
         << setw(10) << "表容量" << setw(15) << "实际代价" 
         << setw(15) << "摊还代价" << "势能" << endl;
    cout << string(70, '-') << endl;
    
    int prev_actual = 0;
    int prev_amortized = 0;
    
    for (int i = 0; i < num_insertions; ++i) {
        prev_actual = dt.getTotalActualCost();
        prev_amortized = dt.getTotalAmortizedCost();
        
        dt.insert(i + 1);  // 插入元素
        
        int actual_cost = dt.getTotalActualCost() - prev_actual;
        int amortized_cost = dt.getTotalAmortizedCost() - prev_amortized;
        
        cout << left << setw(10) << (i + 1)
             << setw(10) << dt.getNum()
             << setw(10) << dt.getSize()
             << setw(15) << actual_cost
             << setw(15) << amortized_cost
             << (2 * dt.getNum() - dt.getSize()) << endl;
    }
    
    cout << string(70, '-') << endl;
    cout << "总实际代价: " << dt.getTotalActualCost() << endl;
    cout << "总摊还代价: " << dt.getTotalAmortizedCost() << endl;
    cout << "平均实际代价: " << (double)dt.getTotalActualCost() / num_insertions << endl;
    cout << "平均摊还代价: " << (double)dt.getTotalAmortizedCost() / num_insertions << endl;
    
    return 0;
}

代码说明

上述代码实现了一个支持自动扩张的动态表。当表已满时，插入新元素会触发表扩张，将表的容量翻倍，并将所有元素复制到新表中。

通过势能法分析，我们证明了每次插入操作的摊还代价为 O (1)。运行程序后，你可以观察到：

大多数插入操作的实际代价为 1
当表满时插入元素，实际代价会突然增加（需要复制所有元素）
但每次插入操作的摊还代价始终为 2
总摊还代价约为总插入次数的 2 倍

这验证了我们的分析结论：动态表插入操作的摊还代价为 O (1)。

17.4.2 表扩张和收缩

方法概述

除了扩张，动态表通常还需要支持收缩操作，当表中元素过少时减小表的容量，以节省空间。

为了避免 "震荡" 现象（频繁交替进行扩张和收缩），通常采用以下策略：

当表满时（num [T] = size [T]），将表扩张到原来的 2 倍
当表中元素不足四分之一时（num [T] = size [T]/4），将表收缩到原来的一半

使用势能法分析这种策略，可以证明插入和删除操作的摊还代价都是 O (1)。

代码实现

下面是同时支持扩张和收缩的动态表的实现：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <stdexcept>

using namespace std;

// 同时支持扩张和收缩的动态表
template <typename T>
class DynamicTable {
private:
    T* table;       // 存储元素的数组
    int num;        // 当前元素数量
    int size;       // 表的当前容量
    int total_actual_cost;  // 总实际代价
    int total_amortized_cost;  // 总摊还代价
    
    // 计算势能函数
    // 当num > size/2时：Φ(T) = 2·num - size
    // 当num ≤ size/2时：Φ(T) = size/2 - num
    int potential() const {
        if (size == 0) return 0;
        if (num > size / 2) {
            return 2 * num - size;
        } else {
            return size / 2 - num;
        }
    }
    
    // 改变表的大小
    void resize(int new_size) {
        if (new_size < 1) new_size = 1;  // 确保最小容量为1
        
        // 分配新表
        T* new_table = new T[new_size];
        
        // 复制元素
        int copy_count = min(num, new_size);
        for (int i = 0; i < copy_count; ++i) {
            new_table[i] = table[i];
        }
        
        // 释放旧表
        if (size > 0) {
            delete[] table;
        }
        
        table = new_table;
        size = new_size;
    }
    
    // 扩张表：将容量翻倍
    void expand() {
        resize(size * 2);
    }
    
    // 收缩表：将容量减半
    void shrink() {
        resize(size / 2);
    }
    
public:
    // 构造函数
    DynamicTable() : table(nullptr), num(0), size(0), 
                     total_actual_cost(0), total_amortized_cost(0) {}
    
    // 析构函数
    ~DynamicTable() {
        if (table != nullptr) {
            delete[] table;
        }
    }
    
    // 插入元素
    void insert(const T& element) {
        int old_potential = potential();  // 操作前的势能
        
        int actual_cost = 1;  // 插入操作的基本代价
        
        // 如果表已满，需要扩张
        if (num == size) {
            actual_cost += num;  // 加上复制所有元素的代价
            expand();
        }
        
        // 插入新元素
        table[num++] = element;
        
        // 计算摊还代价
        int new_potential = potential();
        int amortized_cost = actual_cost + (new_potential - old_potential);
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
    }
    
    // 删除最后一个元素
    T remove() {
        if (num == 0) {
            throw runtime_error("Table is empty");
        }
        
        int old_potential = potential();  // 操作前的势能
        
        int actual_cost = 1;  // 删除操作的基本代价
        
        // 获取并删除最后一个元素
        T removed = table[--num];
        
        // 如果元素数量少于容量的1/4，并且容量大于1，则收缩
        if (num > 0 && num <= size / 4) {
            actual_cost += num;  // 加上复制所有元素的代价
            shrink();
        }
        
        // 计算摊还代价
        int new_potential = potential();
        int amortized_cost = actual_cost + (new_potential - old_potential);
        
        // 更新总代价
        total_actual_cost += actual_cost;
        total_amortized_cost += amortized_cost;
        
        return removed;
    }
    
    // 获取元素数量
    int getNum() const {
        return num;
    }
    
    // 获取表容量
    int getSize() const {
        return size;
    }
    
    // 获取总实际代价
    int getTotalActualCost() const {
        return total_actual_cost;
    }
    
    // 获取总摊还代价
    int getTotalAmortizedCost() const {
        return total_amortized_cost;
    }
    
    // 获取指定索引的元素
    T getElement(int index) const {
        if (index < 0 || index >= num) {
            throw out_of_range("Index out of range");
        }
        return table[index];
    }
};

int main() {
    DynamicTable<int> dt;
    
    cout << "执行一系列插入和删除操作：" << endl;
    cout << left << setw(10) << "操作" << setw(10) << "元素数" 
         << setw(10) << "表容量" << setw(15) << "实际代价" 
         << setw(15) << "摊还代价" << "势能" << endl;
    cout << string(70, '-') << endl;
    
    int prev_actual = 0;
    int prev_amortized = 0;
    
    // 插入10个元素
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        prev_actual = dt.getTotalActualCost();
        prev_amortized = dt.getTotalAmortizedCost();
        
        dt.insert(i + 1);
        
        int actual_cost = dt.getTotalActualCost() - prev_actual;
        int amortized_cost = dt.getTotalAmortizedCost() - prev_amortized;
        
        cout << left << setw(10) << "insert(" + to_string(i+1) + ")"
             << setw(10) << dt.getNum()
             << setw(10) << dt.getSize()
             << setw(15) << actual_cost
             << setw(15) << amortized_cost
             << dt.potential() << endl;
    }
    
    // 删除6个元素
    for (int i = 0; i < 6; ++i) {
        prev_actual = dt.getTotalActualCost();
        prev_amortized = dt.getTotalAmortizedCost();
        
        int removed = dt.remove();
        
        int actual_cost = dt.getTotalActualCost() - prev_actual;
        int amortized_cost = dt.getTotalAmortizedCost() - prev_amortized;
        
        cout << left << setw(10) << "remove()"
             << setw(10) << dt.getNum()
             << setw(10) << dt.getSize()
             << setw(15) << actual_cost
             << setw(15) << amortized_cost
             << dt.potential() << endl;
    }
    
    // 再插入4个元素
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        prev_actual = dt.getTotalActualCost();
        prev_amortized = dt.getTotalAmortizedCost();
        
        dt.insert(11 + i);
        
        int actual_cost = dt.getTotalActualCost() - prev_actual;
        int amortized_cost = dt.getTotalAmortizedCost() - prev_amortized;
        
        cout << left << setw(10) << "insert(" + to_string(11+i) + ")"
             << setw(10) << dt.getNum()
             << setw(10) << dt.getSize()
             << setw(15) << actual_cost
             << setw(15) << amortized_cost
             << dt.potential() << endl;
    }
    
    cout << string(70, '-') << endl;
    cout << "总操作次数: 20" << endl;
    cout << "总实际代价: " << dt.getTotalActualCost() << endl;
    cout << "总摊还代价: " << dt.getTotalAmortizedCost() << endl;
    cout << "平均实际代价: " << (double)dt.getTotalActualCost() / 20 << endl;
    cout << "平均摊还代价: " << (double)dt.getTotalAmortizedCost() / 20 << endl;
    
    return 0;
}

代码说明

上述代码实现了一个同时支持自动扩张和收缩的动态表。当表满时，插入操作会触发表扩张；当表中元素数量少于容量的四分之一时，删除操作会触发表收缩。

通过精心设计的势能函数和操作策略，我们避免了 "震荡" 现象，并保证了插入和删除操作的摊还代价都是 O (1)。运行程序后，你可以观察到：

插入和删除操作的摊还代价都保持在较低水平
表的容量会根据元素数量自动调整
总摊还代价与操作次数呈线性关系

这验证了我们的分析结论：支持扩张和收缩的动态表，其插入和删除操作的摊还代价都是 O (1)。

思考题

用聚合分析法分析二进制计数器的increment操作，证明 n 次操作的总代价是 O (n)。
设计一个动态表，使得插入和删除操作的摊还代价都为 O (1)，但使用不同的扩张和收缩策略（例如，当表满时扩张到原来的 3 倍，当元素数量少于容量的 1/3 时收缩到原来的 1/2）。
考虑一个栈，除了push和pop操作外，还有一个copy操作，它将当前栈复制一份并返回新栈。copy操作的实际代价是栈的大小 k。使用势能法分析这三种操作的摊还代价。
证明：如果一个数据结构的操作序列的总摊还代价是 T (n)，那么存在一个操作序列使得其总实际代价至少是 T (n) - Φ(Dn) + Φ(D0)。
设计一个支持insert、delete和search操作的动态集合数据结构，并使用摊还分析证明其每个操作的摊还代价是 O (log n)。