她用加法开了一次方：一个 11 岁女孩与两千年前的折边

一、黑板上那三个数

2022 年 4 月，巴西米纳斯吉拉斯州贝洛奥里藏特的一间教室。黑板上并排写着三个数：100、121、144。

她叫 Júlia Helena Pimenta Ferreira，那一年 11 岁。那天课上在算平方数，10²、11²、12² 依次写在黑板上。大多数孩子在这个环节做的事情是背：记住 100、121、144，考试时能对上就行。她做的事稍微不一样——她盯着这三个数之间的差看。

从 100 到 121，差是 21。这个 21 不是凭空来的，它是 10 和 11 加起来的。从 121 到 144，差是 23，而 23 是 11 和 12 加起来的。

10² = 100
100 + 10 + 11 = 121   ← 加完，落在 11² 上
121 + 11 + 12 = 144   ← 加完，落在 12² 上

最后加的那个数是 12，而 12 就是 144 的平方根。

她由此给出的规则非常朴素，朴素到几乎没有技术含量：

从一个已知的平方出发，每次把它自己和它后面那个数加上去，加到的那个地方就是下一个平方；最后加上去的那个数，就是答案。

她把这件事讲给同桌 Lara Barros 听。Lara 第一遍没听懂，第二遍听懂了，说了一句：她真是个天才。

我第一遍读到这个例子的时候，也没觉得有什么。直到我把它画出来。

二、她看见的不是数字，是一块砖

把 100 画成 10×10 的方格。现在想把它变成 11×11，要多铺多少格？

直觉会说 11 格——多了一行嘛。其实不对。你要在右边加一列（11 格），在下面加一行（10 格），而拐角那一格被数了两遍，只能算一次。总共 21 格。

平方数靠一条 L 形折边长大：n² 补上 n 格加 (n+1) 格，就变成 (n+1)²

平方数靠一条 L 形折边长大：n² 补上 n 格加 (n+1) 格，就变成 (n+1)²

FIG. 01 · 朱砂色的是新长出来的折边，虚线框里是原来那一块。她写的「+10+11」不是两个随机的数，是把这条折边拆成两条臂分开加。

这条折边是两条臂：一条 10 格，一条 11 格。加起来 21 格，也就是 2n+1。

到这里就清楚了：她写的 100 + 10 + 11，本质上是把 2n+1 这条折边拆成 n 和 n+1 分两次加。

这个拆法看上去只是个写法上的小便宜，其实不是。它让每一步都只需要知道「我现在的根是多少」，不需要知道「奇数」这个概念，也不需要会算 2n+1。对一个 11 岁的孩子来说，这是两件完全不同的事——前者她手上有，后者她没有。

希腊人管这条折边叫 gnomon，中文一般译作「砧形」或「拐尺」，原本指日晷上那根投出影子的立杆。毕达哥拉斯学派在沙地上摆石子，1、4、9、16 就是一个一个 gnomon 叠上去的。而把 1、3、5、7…… 这一串奇数一直加下去，结果永远落在平方数上——因为第 k 次补的那条边，正好是 2k−1 格。

这条恒等式，欧几里得在《几何原本》第二卷命题 4 里给过完整的几何证明：一个正方形，可以被切成两个小正方形加两个矩形。

三、这条路，两千年前有人走过

我不打算把一个 11 岁孩子架到「发明」这个概念上去，所以这一节得说清楚：她没有发明一条新公式。

更准确的说法是：她走了一条两千年前就有的路，而且是自己在黑板上、用自己的语言重新走了一遍。这两件事不是一回事。但后者并不比前者廉价。

中国这边，这条路走得更早也更硬。《九章算术》「少广」章里的开方术，公元 1 世纪成书，做的就是从高位往低位逐位求平方根，每一步都在用「折边」这个几何事实做退位。刘徽在公元 263 年给它作注，把这个动作讲成「开方」——字面意思就是把一个正方形打开，求它的边。

所以「开方」这个词，本身就是她那个画面的中文版。

北宋贾宪的增乘开方法、南宋秦九韶的正负开方术，一路把这个动作推到了高次方。整条线索串下来，人类处理「开方」这件事的核心直觉，从来就是几何的：你不是在算一个数，你是在给一个正方形找边长。

而一个 11 岁的孩子，在 2022 年的黑板上，独立地把这个直觉又摸了一遍。

数学里真正稀缺的，从来不是新事实；是有人愿意把旧事实重新走一遍，并且走到能讲给别人听懂为止。

四、老师做的那一半

这件事之所以没有停在 2022 年 4 月的那张课桌上，是因为她的数学老师 Frederico Ferreira de Pinho Tavares（学生叫他 Fred）做了一个选择。

他没有说「这个方法课本上没有」。

他把她的话写成了一个式子：

n² + n + (n+1) = (n+1)²
左边一眼就能看出是 n² + 2n + 1 —— 也就是 (n+1)²

然后他又往前推了一步。从 a² 出发走 k 步：

(a + k)² = a² + k(2a + k)
k = 1 时：a² + 2a + 1 —— 正好是她的那一步

她做的，是这个式子里 k=1 的那一格。

Fred 把这套整理成一篇教学文章，起名叫「Regressão de Júlia」（朱莉娅回归），投给了巴西数学会主办的《Revista do Professor de Matemática》。2023 年 7 月，第 107 期登了出来。

我想在这里停一下，因为这一节的判断比前面所有内容都重要：

发现和形式化是两种能力，通常不在同一个人身上。她做的是「看见」——看到一个别人每天路过、但没停下来的东西。Fred 做的是「接住」——把一个孩子的口头描述，翻译成能登在纸上、能被别的老师复用的形式。

这两半缺一半，这件事就都不成立。如果 Fred 当时说一句「这不是标准解法，先按课本的来」，那天下午的一切就在下课铃里结束了，不会有第二个人知道。

反过来，如果只有一个会写论文的成年人，他大概率不会去盯着 100、121、144 之间的差看——因为那三个数对成年人来说，太熟了，熟到不再值得看。

五、它能算什么，不能算什么

「天才少女发现开方公式」这个标题在网上传得很广。我不太想跟着这个方向写，所以换了个办法：把它当成一个算法，自己跑了一遍。下面每个数字都是我在本机算的，脚本留在文末。

第一，它只落在完全平方数上。

这是这个方法最硬的天花板。比如 √150：从 144 出发，补一条折边就是 169，直接越过了 150。你只能在 12 和 13 里二选一，误差分别是 2.0% 和 6.1%。

换句话说，它不是一个「开方算法」，它是一个平方数校验器加局部推进器。给你一个数，它能告诉你「这是不是平方数、是哪个数的平方」，但不能告诉你「这个不是平方数的数，根大约是多少」。

而 1 到 10000 之间，完全平方数只有 100 个，占 1%。所以它在整数世界里能命中的地方，也就 1%。

第二，它需要一个起点。

Júlia 自己也是从 10×10=100 开始的，不是从零开始的。这一点常被忽略，但它决定了这个方法真正的定位：她把「开方」这件事，改写成了「找最近的平方，然后走几步」。

这个改写很聪明——找最近的平方，是人最擅长的事；开方，是人最不擅长的事。她只是把难题换成了一个自己会做的题。

第三，代价是步数。

从 1² 走到 n²，要走 n−1 步，每步两次加法，一共 2(n−1) 次加法。开 √10⁶ 就是 999 步、1998 次加法；同样是 10⁶，牛顿法（巴比伦法）16 次迭代就收敛了。

加法法与牛顿法的操作次数对比，双对数坐标

加法法与牛顿法的操作次数对比，双对数坐标

FIG. 02 · 两边都从初值 1 起步，纵轴是操作次数（对数刻度）。加法法在双对数坐标下是一条斜率 1/2 的直线——它的代价正好是 √N；牛顿法几乎是平的。

表 01　两条路线的代价对比（本机实算，两边初值都取 1） 要开的数 N√N加法法步数加法次数牛顿法迭代倍数

1001091891×
10,00010099198128×
1,000,0001,0009991,9981662×
10⁸10,0009,99919,99819526×
10¹²1,000,000999,9991,999,9982638,462×

第四，但有个反转，而且这个反转很有意思。

看表 01 第一行：N = 100，加法法 9 步，牛顿法也是 9 次迭代。而牛顿法每一步里都带一次除法——在只能笔算的年代，除法比加法贵得多。所以在这个量级上，她不输，甚至更便宜。

我把两条曲线的交叉点算了一遍，是 N = 121。

121 是 11²。恰好在她那块黑板旁边。

再过一点点，牛顿法就永远在前面了，而且越拉越开。到 10¹²，差距是 38,462 倍。

这里还有一个我想顺手记下的细节：牛顿法并不是一开始就神。同样是开 10¹²，从初值 1 出发，它前 20 次迭代只是把量级从 10¹¹ 一路砍下来，相对误差从 5×10⁵ 掉到 3 左右；真正的二次收敛只发生在最后四五步里，「每次翻倍的精度」是靠近终点时才出现的。

所以「指数收敛」这个词，讲的是收敛区里的行为，不是全过程的承诺。这一点，写算法的人和用算法的人，经常只记住前半句。

六、「登上数学杂志」这六个字

到这一节，得把口径摊开说。

期刊是真的。《Revista do Professor de Matemática》，简称 RPM，巴西数学会（SBM）出版，1980 年代创刊，到 2023 年已经办了四十多年。第 107 期 2023 年 7 月出版，同期还上线了数字版——SBM 官网有这条公告。

但它是教师杂志，不是研究期刊。它面向的问题是「这个内容怎么教」，不是「有什么新定理」。RPM 登的东西，是给一线数学老师看的，一篇能让别的老师在课上复用的文章，就是它最好的稿子。

而病毒式传播里那句「史上最年轻登上科学期刊的人」，我没有找到任何权威出处。这句话不该让一个 11 岁的孩子去背。

我不觉得这是在给这件事降温，恰恰相反。

一篇教学文章被全国的数学老师读到，对这类发现来说，已经是最好的归宿。数学不需要它变成一条定理，需要它变成一节课。

「发表」和「登上」，中间差的不是两个字，是一个孩子和一个神话之间的距离。而神话是会压人的——一个被叫做「史上最年轻」的孩子，下一次在课堂上想到什么但是错的，她还敢说吗？

七、我为什么还是想写这件事

我们教数学的方式，基本是把结论当规则发下去：勾股定理背下来，开方按步骤做，辅助线连这里，别问为什么。

规则发下去之后，学生和数学的关系就变成了一种很单薄的关系——我执行，你评分。她后来在采访里说的一句话，正好点在这一点上：以前数学只是一套必须遵守的规则，直到她意识到，规则之外还能再造规则。

这句话我不太确定她的原话措辞（各种转述版本略有出入），但那个意思在好几个来源里是一致的。

她做的其实是一件很小的事：把一条已经发下去的规则，自己重新走了一遍。走的是老路，走的人是新的。

历史上这样的例子不稀缺。高斯小时候自己推出了等差数列求和，费马在业余时间把坐标几何的一些思路重新摸了一遍。真正的原创很少从零开始，大多数是「重新看见一个已经存在的东西」——区别只在于，有的人看见了就过去了，有的人停下了。

而这件事里最动人的那一环，其实不在她身上，在 Fred 身上：一个人有判断力，愿意停下来听一个 11 岁孩子讲完。

创新的起点很少是完整的理论。它通常是一个人注意到了什么，加上另一个人愿意认真对待它。

八、最后

这个故事在网上被压缩成了「11 岁天才少女发表论文」。压缩之后，它就变成了一条可以划过去的短视频。

但把事情摊开看，里面有四样东西，每一样都比「天才」更可复用：

第一，数学的「旧」不等于「死」。她发现的是两千年前的 gnomon，但这不妨碍她 11 岁那年为它兴奋一场。一个事实被别人走过一千遍，和你自己走通一遍，是两种完全不同的体验，而后者才真的属于你。

第二，看见和接住是两件事，需要两个人。孩子负责看见，成人负责把它写成能传下去的东西。这两半之间没有高下，但缺一半，这件事就不存在。

第三，任何算法都有它的量级。她的方法在 121 以内不输给牛顿法，在 10¹² 面前慢三万八千倍。这两句话都是真的，只挑一句讲的人，讲的是立场，不是数学。

第四，别急着把过程换成神迹。「登上」比「发表」好听，「天才」比「一个愿意盯着三个数看的孩子」好传。但被换掉的正好是这件事最值钱的部分：它是可以被复制的过程，不是一次不可复制的降临。

我女儿今年五年级，正在学平方。这篇文章写完，我打算把 FIG. 01 打印出来，让她自己拿彩笔把那条折边涂掉，然后问她：下一块要涂几格。

我不指望她发现什么。我只想让她知道，黑板上那些已经写好的数，是可以被重新看一遍的。

永远对世界保持好奇。

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原文出处：https://shanyiai.site/article/additive-sqrt