为什么numpy的einsum比numpy的内置函数快？
让我们从三个dtype=np.double数组开始。使用用icc编译并链接到英特尔mkl的numpy 1.7.1在英特尔CPU上执行计时。使用不带mkl的gcc编译的具有numpy 1.6.1的AMD cpu也被用来验证时序。请注意，计时与系统大小几乎成线性关系，并不是由于numpy函数if语句产生的小开销造成的，这些差异将以微秒而不是毫秒为单位显示：
arr_1D=np.arange(500,dtype=np.double)
large_arr_1D=np.arange(100000,dtype=np.double)
arr_2D=np.arange(500**2,dtype=np.double).reshape(500,500)
arr_3D=np.arange(500**3,dtype=np.double).reshape(500,500,500)首先让我们看一下np.sum函数：
np.all(np.sum(arr_3D)==np.einsum('ijk->',arr_3D))
True
%timeit np.sum(arr_3D)
10 loops, best of 3: 142 ms per loop
%timeit np.einsum('ijk->', arr_3D)
10 loops, best of 3: 70.2 ms per loop权力：
np.allclose(arr_3D*arr_3D*arr_3D,np.einsum('ijk,ijk,ijk->ijk',arr_3D,arr_3D,arr_3D))
True
%timeit arr_3D*arr_3D*arr_3D
1 loops, best of 3: 1.32 s per loop
%timeit np.einsum('ijk,ijk,ijk->ijk', arr_3D, arr_3D, arr_3D)
1 loops, best of 3: 694 ms per loop外部产品：
np.all(np.outer(arr_1D,arr_1D)==np.einsum('i,k->ik',arr_1D,arr_1D))
True
%timeit np.outer(arr_1D, arr_1D)
1000 loops, best of 3: 411 us per loop
%timeit np.einsum('i,k->ik', arr_1D, arr_1D)
1000 loops, best of 3: 245 us per loop以上所有这些都是np.einsum的两倍快。这些应该是苹果与苹果的比较，因为所有的东西都是特定于dtype=np.double的。我希望在这样的操作中速度会更快：
np.allclose(np.sum(arr_2D*arr_3D),np.einsum('ij,oij->',arr_2D,arr_3D))
True
%timeit np.sum(arr_2D*arr_3D)
1 loops, best of 3: 813 ms per loop
%timeit np.einsum('ij,oij->', arr_2D, arr_3D)
10 loops, best of 3: 85.1 ms per loop对于np.inner、np.outer、np.kron和np.sum，Einsum的速度似乎至少是axes选择的两倍。主要的例外是np.dot，因为它从BLAS库中调用DGEMM。那么，为什么np.einsum比其他同等的numpy函数要快呢？
DGEMM的完整性案例：
np.allclose(np.dot(arr_2D,arr_2D),np.einsum('ij,jk',arr_2D,arr_2D))
True
%timeit np.einsum('ij,jk',arr_2D,arr_2D)
10 loops, best of 3: 56.1 ms per loop
%timeit np.dot(arr_2D,arr_2D)
100 loops, best of 3: 5.17 ms per loop主要的理论来自@sebergs的评论，即np.einsum可以利用SSE2，但numpy的ufuncs直到numpy 1.8才能使用(参见change log)。我相信这是正确的答案，但还无法确认。一些有限的证据可以通过改变输入数组的数据类型和观察速度差异以及不是每个人都观察到相同的计时趋势的事实来找到。
回答 3
Stack Overflow用户
发布于 2013-10-27 05:28:35
现在，numpy 1.8发布了，根据文档，所有ufuncs都应该使用SSE2，我想再次检查一下Seberg对SSE2的评论是否有效。
为了执行测试，我们创建了一个新的python2.7安装程序-- numpy 1.7和1.8是在运行Ubuntu的AMD opteron内核上使用标准选项用icc编译的。
这是1.8升级之前和之后的测试运行：
import numpy as np
import timeit
arr_1D=np.arange(5000,dtype=np.double)
arr_2D=np.arange(500**2,dtype=np.double).reshape(500,500)
arr_3D=np.arange(500**3,dtype=np.double).reshape(500,500,500)
print 'Summation test:'
print timeit.timeit('np.sum(arr_3D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print timeit.timeit('np.einsum("ijk->", arr_3D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print '----------------------\n'
print 'Power test:'
print timeit.timeit('arr_3D*arr_3D*arr_3D',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print timeit.timeit('np.einsum("ijk,ijk,ijk->ijk", arr_3D, arr_3D, arr_3D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print '----------------------\n'
print 'Outer test:'
print timeit.timeit('np.outer(arr_1D, arr_1D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print timeit.timeit('np.einsum("i,k->ik", arr_1D, arr_1D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print '----------------------\n'
print 'Einsum test:'
print timeit.timeit('np.sum(arr_2D*arr_3D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print timeit.timeit('np.einsum("ij,oij->", arr_2D, arr_3D)',
'import numpy as np; from __main__ import arr_1D, arr_2D, arr_3D',
number=5)/5
print '----------------------\n'Numpy 1.7.1：
Summation test:
0.172988510132
0.0934836149216
----------------------
Power test:
1.93524689674
0.839519000053
----------------------
Outer test:
0.130380821228
0.121401786804
----------------------
Einsum test:
0.979052495956
0.126066613197Numpy 1.8：
Summation test:
0.116551589966
0.0920487880707
----------------------
Power test:
1.23683619499
0.815982818604
----------------------
Outer test:
0.131808176041
0.127472200394
----------------------
Einsum test:
0.781750011444
0.129271841049我认为这是相当有说服力的，上交所在时间差异中扮演了很大的角色，应该注意的是，重复这些测试的时间只有0.003秒。其余的不同之处应该在这个问题的其他答案中涵盖。
Stack Overflow用户
发布于 2013-08-22 03:27:57
首先，在numpy列表上已经有很多关于这方面的讨论。例如，请参阅：http://numpy-discussion.10968.n7.nabble.com/poor-performance-of-sum-with-sub-machine-word-integer-types-td41.html http://numpy-discussion.10968.n7.nabble.com/odd-performance-of-sum-td3332.html
其中一些归结为einsum是新的，可能是为了更好地处理缓存对齐和其他内存访问问题，而许多旧的numpy函数专注于易于移植的实现，而不是经过大量优化的实现。不过，我只是在猜测。
然而，您正在做的一些事情并不完全是“苹果对苹果”的比较。
除了@Jamie已经说过的，sum对数组使用了更合适的累加器
例如，sum在检查输入类型和使用适当的累加器时会更加小心。例如，考虑以下内容：
In [1]: x = 255 * np.ones(100, dtype=np.uint8)
In [2]: x
Out[2]:
array([255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255,
255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255], dtype=uint8)请注意，sum是正确的：
In [3]: x.sum()
Out[3]: 25500而einsum会给出错误的结果：
In [4]: np.einsum('i->', x)
Out[4]: 156但如果我们使用限制较少的dtype，我们仍然会得到您所期望的结果：
In [5]: y = 255 * np.ones(100)
In [6]: np.einsum('i->', y)
Out[6]: 25500.0Stack Overflow用户
发布于 2013-08-22 03:07:13
我认为这些计时解释了正在发生的事情：
a = np.arange(1000, dtype=np.double)
%timeit np.einsum('i->', a)
100000 loops, best of 3: 3.32 us per loop
%timeit np.sum(a)
100000 loops, best of 3: 6.84 us per loop
a = np.arange(10000, dtype=np.double)
%timeit np.einsum('i->', a)
100000 loops, best of 3: 12.6 us per loop
%timeit np.sum(a)
100000 loops, best of 3: 16.5 us per loop
a = np.arange(100000, dtype=np.double)
%timeit np.einsum('i->', a)
10000 loops, best of 3: 103 us per loop
%timeit np.sum(a)
10000 loops, best of 3: 109 us per loop所以当你在np.einsum上调用np.sum时，你基本上有一个几乎恒定的3us开销，所以它们基本上运行得一样快，但是一个运行起来需要更长的时间。为什么会这样呢？我的赌注如下：
a = np.arange(1000, dtype=object)
%timeit np.einsum('i->', a)
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: invalid data type for einsum
%timeit np.sum(a)
10000 loops, best of 3: 20.3 us per loop不确定到底发生了什么，但似乎np.einsum跳过了一些检查，以提取特定类型的函数来执行乘法和加法，并且直接使用*和+仅用于标准C类型。
多维情况没有什么不同：
n = 10; a = np.arange(n**3, dtype=np.double).reshape(n, n, n)
%timeit np.einsum('ijk->', a)
100000 loops, best of 3: 3.79 us per loop
%timeit np.sum(a)
100000 loops, best of 3: 7.33 us per loop
n = 100; a = np.arange(n**3, dtype=np.double).reshape(n, n, n)
%timeit np.einsum('ijk->', a)
1000 loops, best of 3: 1.2 ms per loop
%timeit np.sum(a)
1000 loops, best of 3: 1.23 ms per loop所以大部分的开销是恒定的，一旦他们开始工作，运行速度就不会更快。
https://stackoverflow.com/questions/18365073
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