它从叶节点获取偏导数开始。常数节点（5）返回常数 0，因为常数的导数始终为 0。...变量x返回常数 1，因为∂x/∂x = 1，变量y返回常数 0，因为∂y/∂x = 0（如果我们要找关于y的偏导数，结果将相反）。 现在我们有了所有需要的内容，可以向上移动到函数g中的乘法节点。...图 B-2 显示了使用双重数计算f(x, y)对x在x = 3 和y = 4 时的偏导数（我将写为∂f/∂x (3, 4))。...例如，您可以将稀疏张量乘以任何标量值，得到一个新的稀疏张量，但是您不能将标量值添加到稀疏张量中，因为这不会返回一个稀疏张量： >>> s * 42.0 <tensorflow.python.framework.sparse_tensor.SparseTensor...在 TF 函数中处理变量和其他资源 在 TensorFlow 中，变量和其他有状态对象，如队列或数据集，被称为资源。
线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量x和因变量y之间的关系是线性的，即y可以表示为x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。...偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。...常数\frac{1}{2}不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。...梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。...矢量化加速 为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑(对向量相加的两种方法)。我们实例化两个全为1的10000维向量。
上一节我们使用SGD方式调整网络参数，这种计算方法存在一些问题，它的计算方法是，假设当前网络某个参数的值是W,它对该参数求偏导数后得到的值为r，那么参数修改的方法是W = W + l*r，其中l表示学习率...这种方法在某些特殊情况下很难收敛到最小值，一种改进方法叫Momentum，假设当前要调整的参数值为W，它上一次调整的数值是U，同时对该参数求偏导数得到的结果为r，那么参数的调整由以下公式计算： W =...这里主要是数值运算上的考量，对数学不感兴趣的朋友可以忽略细节。它的思想是，如果这次对参数求偏导数所得的值与上一次求偏导数所得的值符号相同，那么我们在偏导数指向的方向上加到改变的步伐。...如果本次求偏导数结果与上一次偏导数不同，这意味着上一次改变的步伐太大，使得网络一下子越过了最低点，于是这次我们修改时，要让步伐变小一些，无论是增大步伐还是减少步伐，我们都要结合上一次改变步伐也就是U的值进行运算...它表示第t个参数的该变量。左边x表示改变的幅度，右边分子表示学习率，分母是根号下对过往调整幅度平方加总，g(t)表示参数当前求偏导数后的数值。
但我发现，将神经网络简单地描述为一个从输入映射到输出的数学函数理解起来更容易。...对于一个基本的 2 层神经网络，神经网络的输出计算如下： ? 我们可以在 Python 代码中添加一个前向传播函数来做到这一点。简单起见，我们假设偏置为 0。...从微积分的角度来看，函数的偏导数也就是函数的斜率。 ? 梯度下降算法 如果我们知道了偏导数，我们可以通过简单增加或减少偏导数（如上图所示）的方式来更新权重和偏置。这就是所谓的梯度下降。...简单起见，我们只展示了一层神经网络的偏导数。 唷！这看起来不大好看，但这能让我们获得所需——损失函数对权重的偏导数（斜率），以便相应调整权重。...既然我们已经有了链式法则公式，接下来我们把反向传播函数添加到 Python 代码中。
在本Python实现中，将偏置量一并放入了矩阵，这样进行线性代数运算就会方便一些。 后向传播 后向传播指的是在训练的时候，根据最终输出的误差来调整倒数第二层、倒数第三层……第一层的参数的过程。...看损失函数对参数的导数 ? 呗。 将E的定义代入该导数： ? 无关变量拿出来： ? 看到这里大概明白为什么非要把误差定义为误差平方和的一半了吧，就是为了好看，数学家都是外貌协会的。 将 ?...，而上一层的输出 ? 是与到输出层的权值变量无关的，所以对 ? 求权值变量 ? 的偏导数直接等于其本身，也就是说： ? = ? ? = ? 。 然后将上面用过的 ? = ? 代进去就得到最终的： ?...偏置的调整 因为没有任何节点的输出流向偏置节点，所以偏置节点不存在上层节点到它所对应的权值参数，也就是说不存在关于权值变量的偏导数。...原视频中说∂O/∂θ=1，这是不对的，作者也在讲义中修正了这个错误，∂O/∂θ=O(1–O)。 然后再求 ? ， ? ，后面的导数等于 ? ，代进去有 ? 其中， ? 。
这基本上没什么问题，但值恰好为 0 或 1 的时候除外（有时候确实会发生这种情况）。为什么这会有问题？ 这个问题与反向传播有关（有关反向传播的介绍请参阅我的前一篇文章）。...在反向传播过程中，我们必须计算每个权重影响成本函数（cost function）的比例，具体做法是计算成本函数相对于每个权重的偏导数。...举个例子，所有权重都有一些非常高的值，比如 100，而我们得到一些在 0 到 0.25 之间、 sigmoid 函数导数的随机输出： ? 最后一个偏导为 ?...那么稀疏性这个术语究竟是什么意思？ 稀疏：数量少，通常分散在很大的区域。在神经网络中，这意味着激活的矩阵含有许多 0。这种稀疏性能让我们得到什么？...简单来说，归一化首先是减去均值，然后除以标准差。因此，经过归一化之后，网络的组件（权重、偏置和激活）的均值为 0，标准差为 1。而这正是 SELU 激活函数的输出值。
上面的一切都是在随机生成数据，为的就是能够自己生成一个小型的数据集。...iteration{i}:{cost}") dJ_dw=(2/n_samples)*np.dot(x.T,(y_predict-y))#第三步 第一个公式，得对应偏导数的梯度...第 1 步(只有在使用梯度下降法训练时需要)： 计算输入的特征与权重值的线性组合，这可以通过矢量化和矢量传播来对所有训练样本进行处理： 其中 X 是所有训练样本的维度矩阵，其形式为 ；· 表示点积...第 2 步(只有在使用梯度下降法训练时需要)： 用均方误差计算训练集上的损失： 第 3 步(只有在使用梯度下降法训练时需要): 对每个参数，计算其对损失函数的偏导数： 所有偏导数的梯度计算如下...，_代表的也是一个变量名，只是为1，为什么用 #相当于被抛弃的那种。
原因如下： 深度学习必须有一定的数学基础，如果不能简单的方法去讲解，但是又能学习到基本原理和深入理解，有些新人就会有畏难的思想，从而导致过早地放弃和没有兴趣； 还有就是现在市面上的书籍大同小异，很多人的书籍还有错误...其实不必有畏难的情绪，个人很推崇李书福的精神，在一次电视采访中，李书福说：谁说中国人不能造汽车？造汽车有啥难的，不就是四个轮子加两排沙发嘛。当然，他这个结论有失偏颇，不过精神可嘉。...深度学习还有一个重要的数学概念：偏导数，偏导数的偏怎么理解？...上面我们讲了，导数其实就是变化率，那么偏导数是什么？偏导数无非就是多个变量的时候，针对某个变量的变化率呗。...计算偏导数的时候，其他变量都可以看成常量，这点很重要，常量的变化率为0，所以导数为0，所以就剩对35x₃ 求导数，等于35. 对于x₂求偏导，也是类似的。
但 L1 范数是 L0 范数的最优凸近似，它比 L0 范数有着更好的优化求解的特性，所以被更广泛地使用。 为什么要实现权值稀疏呢？...当函数值增量 Δy 与变量增量 Δx 的比值在 Δx 趋近于 0 时，如果极限 a 存在，我们就称 a 为函数 F(x)在 x 处的导数。...不光函数有导数，导数也有导数。代表函数在 x 处斜率（导数）的变化率我们称之为二阶导数。由此类推，还有高阶导数等 2. 偏导数 在实际应用中，很多函数都有多个变量。...为了方便分析不同变量与函数的关系，为单个变量求导是很有必要的。这个时候，我们需要让其他变量不变，只有某一个变量发生变化，这种情况下的求导我们称之为 “偏导数”。公式如下： ?...分别表示函数在 x 轴方向和 y 轴方向上的导数 3. 梯度 在机器学习中，梯度是一个出现频率极高的词语，模型的设计、训练、优化等过程中，梯度都是一个核心概念。函数的所有偏导数构成的向量就叫作梯度。
是一个目标变量，它是一个标量 线性回归模型可以理解为一个非常简单的神经网络： 它有一个实值加权向量 ?...第 3 步(只有在使用梯度下降法训练时需要): 对每个参数，计算其对损失函数的偏导数： ? 所有偏导数的梯度计算如下： ? 第 4 步(只有在使用梯度下降法训练时需要）: 更新权重向量和偏置量： ?...首先(在步骤 0 中)，模型的参数将被初始化。在达到指定训练次数或参数收敛前，重复以下其他步骤。...针对每个参数计算其对损失函数的偏导数 更新参数 前向传播过程 首先，我们计算网络中每个单元的激活值和输出值。...首先(在步骤0中)，模型的参数将被初始化。在达到指定训练次数或参数收敛前，重复以下其他步骤。
1.2 导数和偏导数 1.2.1 导数偏导计算 导数定义 导数（derivative）代表了在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量的变化的比值。几何意义是这个点的切线。...物理意义是该时刻的（瞬时）变化率。 注意：在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。在物理学中有平均速度和瞬时速度之说。...偏导数 既然谈到偏导数（partial derivative），那就至少涉及到两个自变量。以两个自变量为例， ，从导数到偏导数，也就是曲线来到了曲面。曲线上的一点，其切线只有一条。...设函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记作 或 或 或 。 偏导数在求解时可以将另一个变量看作常数，利用普通的求导方式求解，比如 关于 的偏导数就为 ，这个时候 就相当于 的系数。...某点 处的偏导数的几何意义为曲面 与面 或面 交线在 或 处切线的斜率。
每年增长 10 头猪，多简单。 这里需要注意有个时间变量---年。王小二卖猪的增长率是 10头/年，也就是说，导数是 10。...偏导数是什么 偏导数无非就是多个变量的时候，针对某个变量的变化率。在上面的公式里，如果针对 x₃ 求偏导数，也就是说，员工对于猪的增长率贡献有多大。...计算偏导数的时候，其他变量都可以看成常量，这点很重要，常量的变化率为 0，所以导数为 0，所以就剩对 35x₃ 求导数，等于 35。对于 x₂ 求偏导，也是类似的。...由于实际应用中，我们一般都是对多变量进行处理，我在后面提到的导数也都是指偏导数。...如果是彩色图片，维度会增加到原来的3倍，那么特征数将增加到接近3千万了！ ? 这么小的一张图片，就有这么巨大的特征量，可以想像一下我们的数码相机拍下来的照片会有多大的特征量！
前言：最近在跟着吴恩达老师(Andrew Ng)的视频课程学习机器学习，该视频是2014年拍的，虽然有点老，但理论却并不过时，是非常经典的机器学习入门教程，也正是因为这是入门教程，所以视频中的有些数学知识只给出了结论却未进行推导...所以随着学习的深入，我不知道为什么的地方也越来越多，所以我决定先搞清楚视频中涉及到的那些未被推导的数学公式之后再继续学习后面的视频教程。...本文是上述所说的系列文章的第一篇，主要对梯度下降算法中的偏导公式进行推导。梯度下降算法是我们在吴恩达老师的教程中遇到的第一个算法，算法中的对代价函数的求导也是我们需要自己推导的第一个数学结果。...我们先来看看梯度下降算法和其代价函数，下图是我从视频中截取出来的： ? 上图左边是梯度下降算法伪码，右边是h和J函数的定义。需要注意的是代价函数J的自变量是和，而不是x和y，x和y只是一些常量。...到此，余下部分的偏导就比较简单了，它是对一个二元一次函数的自变量求偏导，根据偏导的定义，对求偏导数时，我们把看作常数，对求偏导数时，我们把看作常数。于是有： ?
【DL笔记2】矢量化技巧&Logistic Regression的算法解析 一、神经网络中的矢量化技巧 就一句话： ❝「只要阔能，就不要使用显示for循环（explicit for-loop），而是尽可能采用矢量化技术...因此，我们在面对深度学习问题的时候，首先要想一想，如何把数据进行“矢量化”，就是转化成向量或者矩阵，这样可以大大提高我们的效率。...首先回顾一下上一篇文章【DL笔记1】Logistic Regression：最基础的神经网络中对Logistic regression模型的学习和预测的步骤： 初始化W和b 指定learning rate...和迭代次数 每次迭代，根据当前W和b计算对应的梯度（J对W，b的偏导数），然后更新W和b 迭代结束，学得W和b，带入模型进行预测，分别测试在训练集合测试集上的准确率，从而评价模型 假设我们的样本数为m，...我们总结一下： 所谓的Vectorization，就是把我们需要用for-loop来对那些只有上标或者下标变化的变量，放进一个向量或者矩阵中，让他们所有变量同时计算！
如果函数J(w)包含多个变量，那么就要分别对不同变量求偏导来更新不同变量的值。...权重和偏置的更新公式 对目标函数 E 求 w 和 b 的偏导可以得到 w 和 b 的更新量，下面拿求 w 偏导来做推导 其中 η 为学习率，取值通常为 0.1 ~ 0.3...对函数 z 求 w 的偏导 Sigmoid 求导数的式子如下，从式子中可以发现其在计算机中实现也是非常的方便 Sigmoid 函数求导...δ 值依赖了真实值y这个变量，但是我们只知道输出层的真实值而不知道每层隐藏层的真实值，导致无法计算每层隐藏层的 δ 值，所以我们希望能够利用 l+1 层的 δ 值来计算 l 层的 δ 值，而恰恰通过一些列数学转换后可以做到...x, y in mini_batch: # 根据样本中的每一个输入 x 的其输出 y，计算 w 和 b 的偏导数 delta_nabla_b, delta_nabla_w
如果函数J(w)包含多个变量，那么就要分别对不同变量求偏导来更新不同变量的值。...对函数 z 求 w 的偏导 Sigmoid 求导数的式子如下，从式子中可以发现其在计算机中实现也是非常的方便： Sigmoid 函数求导...而恰恰通过一些列数学转换后可以做到，这也就是逆向反馈名字的由来，公式如下: 从式子中我们可以看到，我们只需要知道下一层的权重和神经元输出层的值就可以计算出上一层的 δ 值，我们只要通过不断的利用上面这个式子就可以更新隐藏层的全部权重和偏置了...] for x, y in mini_batch: # 根据样本中的每一个输入 x 的其输出 y，计算 w 和 b 的偏导数 delta_nabla_b...30 轮的迭代后，识别手写神经网络的精确度在 95% 左右，当然，设置不同的迭代次数，学习率以取样数对精度都会有影响，如何调参也是一门技术活，这个坑就后期再填吧。
我们将运用我们所知的在单个神经元内部的原理，矢量化整个层，将这些计算结合到矩阵方程中。方程式将会被编写在选择层中，为了统一符号[l]。顺便说一下，下标i标记该层中神经元的索引。 ?...为了达到这个目标，我们从使用积分和梯度下降法去找到一个可以使loss值最小的函数。在每次迭代中我们将计算神经网络的每一部分的损失函数的偏导数的值。...对于那些不太擅长这种计算的人，我就简单的说，导数具有很好的描述函数斜率的能力。由于我们知道如何改变变量使其在图表中向下移动。...在我们的神经网络中它以同样的方式工作——每次迭代的梯度都向我们展示了我们应该移动的方向。最主要的不同点是在我们的示范神经网络，我们有更多的参数需要考虑。但是...我们又如何计算这些全导数呢？ ?...我们的神经网络将非常缓慢地学习；如果我们设置得太高，我们无法达到最低限度。关于W和b的损失函数的偏导数dW和db，我们使用链式方法进行计算。dW和db矩阵的大小与W的大小相同。
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