数学定理证明一直被视为构建智能机器的关键能力。证明一个特定的猜想是真是假,需要使用符号推理等数学知识,比简单的识别、分类等任务要难得多。
经典的二项式定理,就是牛顿二项式,也就是广义二项式定理的特殊情况。牛顿猜测出这样的展开式之后并没有给出证明,后来欧拉完善了这个证明,现在根据欧拉的方法来证明一下。
去年 2 月份,DeepMind 发布了编程辅助利器 AlphaCode。它使用人工智能技术来帮助程序员更快地编写代码,可以自动完成代码、提供代码建议并检查错误,从而提高编程效率。AlphaCode 的问世意味着 AI 在解决现实世界问题的道路上又迈出了一大步。
其实二项式定理也就一句话:$(x + y)^n = \sum_{i = 0}^n C_{n}^i x^{n - i} y^{i}$
为了更好地展现其成果,48岁的他开始学习Lean4(一种可作为交互式定理证明工具的函数式编程语言)。
, 作用 : 求和时拆项 , 将一个组合数拆分成两项之和 , 或两项之差 , 然后合并 ;
加法原理:集合元素可以被划分为集合族F = {S1, S2, S3…}则S的元素个数是这些元素个数之和:|S| = |S1| + |S2| + |S3|+…|Sn|
( 2 ) 右边组合式 ( 根据下面的 导数运算规则 和 幂函数导数公式 计算 ) :
最近,热衷于用GPT-4、Copilot做研究的数学大神陶哲轩,又在AI的帮助下发现了自己论文中的一处隐藏bug!
「数学天才」陶哲轩曾在一篇博客中称,2026年,AI将与搜索和符号数学工具相结合,成为数学研究中值得信赖的合著者。
对于大模型来说,形式化的定理证明也算一种挑战。形式化证明本质上是一种计算机程序,但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同,证明的正确性可以用证明助手(比如 Lean 语言)来验证。定理证明是代码生成的一种特殊形式,在评估上非常严格,没有让模型产生幻觉的空间。
绪论:加法原理、乘法原理# 分类计数原理:做一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
组合分析方法使用 : 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;
② 归纳步骤 : 根据 数学归纳法的种类 , 进行不同方式的证明 , 这里有 第一数学归纳法 和 第二数学归纳法 两种归纳法 ;
1 . 证明方法 : 之前使用过两种证明方法 , ① 二项式定理 + 求导 , ② 使用现有组合恒等式推导 ;
详细的性质及应用也不介绍了,给大家推荐一个牛逼的博客博客地址,我当时学ACM的时候这部分都是看着他的学的。
选自Github 机器之心编译 参与:李泽南、蒋思源 在实践中,机器学习算法经常会出现各种错误,而造成错误的原因也经常难以找到。近日,斯坦福大学的研究者提出了一种开发机器学习系统的新思路:以数学定理为基础构建机器学习随机计算图,以达到无 bug、自动化的目的,他们提出了随机计算图系统 Certigrad。在实验中,研究人员证明了该方法在未经大量优化的情况下达到了可以和 TensorFlow 相媲美的表现。目前,该项目已经开源。 项目链接:https://github.com/dselsam/certigr
有了Copilot之后,研究做起来也更方便了,陶哲轩也用它辅助自己完成了最新的研究成果。
非降路径问题 是组合计数模型 , 利用该组合计数模型 , 可以处理一些常见的组合计数问题 ;
1986 年,安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)为了证明费马大定理,遁入书斋长达七年之久。
「我预计,如果使用得当,到 2026 年,AI 将成为数学研究和许多其他领域值得信赖的合著者。」数学家陶哲轩在之前的一篇博客中说道。
分类计数原理:做一件事,有\(n\)类办法,在第\(1\)类办法中有\(m_1\)种不同的方法,在第\(2\)类办法中有\(m_2\)种不同的方法,…,在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法,那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+…+m_n\)种不同的方法。
迪菲-赫尔曼密钥交换(英语:Diffie-Hellman key exchange,缩写为D-H) 迪菲-赫尔曼密钥交换是在美国密码学家惠特菲尔德.迪菲和马丁.赫尔曼的合作下发明的,发表于1976年。
项目地址:https://github.com/riccardobrasca/flt3
明敏 发自 凹非寺 量子位 | 公众号 QbitAI 不得不说,科学家们最近都在痴迷给AI补数学课了。 这不,脸书团队也来凑热闹,提出了一种新模型,能完全自动化论证定理,并显著优于SOTA。 要知道,随着数学定理愈加复杂,之后再仅凭人力来论证定理只会变得更加困难。 因此,用计算机论证数学定理已经成为一个研究焦点。 此前OpenAI也提出过专攻这一方向的模型GPT-f,它能论证Metamath中56%的问题。 而这次提出的最新方法,能将这一数字提升到82.6%。 与此同时,研究人员表示该方法使用的时间还更短
三周前,他曾发布一篇博文,记录下自己使用Blueprint在Lean4中形式化多项式Freiman-Ruzsa猜想的证明过程。
作为长链条严格推理的典范,数学推理被认为是衡量语言模型推理能力的重要基准,GSM8K 和 MATH 等数学文字问题(math word problem)数据集被广泛应用于语言模型的测评和比较中。事实上,数学作为一项科学研究并不仅仅包括计算具体实例,还包括推演一般性的定理。不同于简单的计算问题仅仅需要验证最终的结果与答案是否匹配,定理的证明要求对数学概念拥有更严格的理解,而这种定理证明的正确性是难以通过直接的自然语言生成和判别或是简单的程序调用就能够完成的。
「由 Alex Kontorovich 和我领导的一个新的 Lean 形式化项目刚刚正式宣布,该项目旨在形式化素数定理(prime number theorem,PNT)的证明,以及伴随而来的复分析和解析数论的支持机制,并计划给出进一步的结果如 Chebotarev 密度定理。」著名数学家陶哲轩在个人博客中写道。
在统计学中为了观察数据的离散程度,我们需要用到标准差,方差等计算。我们现在拥有以下两组数据,代表着两组同学们的成绩,现在我们要研究哪一组同学的成绩更稳定一些。方差是中学就学过的知识,可能有的同学忘记了 ,一起来回顾下。 A组 = [50,60,40,30,70,50] B组 = [40,30,40,40,100] 为了便于理解,我们可以先使用平均数来看,它们的平均数都是50,无法比较出他们的离散程度的差异。针对这样的情况,我们可以先把分数减去平均分进行平方运算后,再取平均值。
听起来有点耳熟?没错,就是去年参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的“非人”选手Lean~
惊奇的发现选修2-3上有期望的介绍,不过我没有课本啊qwq。只能去网上找资料了。。
机器之心报道 参与:魔王、小舟、杜伟 继 GPT-3 之后,OpenAI 推出用于数学问题的 GPT-f,利用基于 Transformer 语言模型的生成能力进行自动定理证明。由 GPT-f 发现的 23 个简短证明已被 Metamath 主库接收。 大名鼎鼎的 Transformer 架构不仅在 NLP 领域呼风唤雨,还能用于计算机视觉,比如目标检测。但仅仅这样就足够了吗?最近,OpenAI 研究者尝试用基于 Transformer 的语言模型做自动定理证明(ATP)! 论文一作 Stanislas P
在前面的系列文章《我的数学学习回忆录——一个数学爱好者的反思(二)》中,我从宏观层面回忆了我的数学学习历程和反思。其实,我和数学之间还有很多很多意识流一样的交流和故事,它会时不时在我的生活中可爱地蹦跶出来。有时源于突然记起的公式,有时源于工作生活中联想回去的特定场景。它代表着我那时候的记忆定格以及以我今天的思维碰撞后的结果,有时能擦出令人惊喜的思维火花。
\binom nk 表示二项式系数,其中 n 称作上指标 (upper index),而称 k 为下指标 (lower index)。
行早 发自 凹非寺 量子位 | 公众号 QbitAI AI在最不擅长的数学方面,这次大幅刷新了最好成绩。 其中关键角色是OpenAI给Lean做的一个定理证明器。 听起来有点耳熟?没错,就是去年参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的“非人”选手Lean~ 自从2013年微软研究院推出Lean以来,就一直尝试让AI在数学命题证明这方面取得进展。 而这次也确实得到了回报,OpenAI新做的这个定理证明器让它学会了解决一部分有难度的高中奥数题,包括美国的数学竞赛AMC12、AIME甚至是国际奥数竞赛中的题。 它首先
大名鼎鼎的青年天才数学家,菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨最近发了一个博客,宣告他半年前自己提出的一个挑战,已经成功证明出来了。
\[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k} \]
在这篇文章中,我将解释有监督的机器学习技术如何相互关联,将简单模型嵌套到更复杂的模型中,这些模型本身嵌入到更复杂的算法中。接下来的内容将不仅仅是一份模型备用表,也不仅仅是一份监督方法的年表,它将用文字、方程和图表来解释主要机器学习技术家族之间的关系,以及它们在偏差-方差权衡难题中的相对位置。
前几天,一篇加州理工和MIT研究者用ChatGPT证明数学定理的论文爆火,在数学圈引发了极大关注。
近几个月来,著名数学家陶哲轩热衷于用 ChatGPT、GPT-4 等 AI 工具辅助解决数学问题。我们也一直在持续地关注,这不今天又看到了他使用 GPT-4 来帮助自己证明数学定理。
张益唐教授最近发布的论文宣布攻克「郎道-西格尔零点猜想问题」,着实让数学之美火出了圈。
在国内欢度春节之时,DeepMind 与 OpenAI 两个知名 AI 研究机构分别发布重要研究成果:DeepMind 发布了基于 Transformer 模型的 AlphaCode,可以编写与人类相媲美的计算机程序;同时,OpenAI 开发的神经定理证明器成功解出了两道国际奥数题。
好了,今天的题目就到这里了,最近,个人认证通过了。第一题利用了二项式的展开式定理,后面主要是凑要求的式子,综合利用变形求得,最后直接变形就可以得出结果。(注意二项式定理的逆用)。第二题主要考察函数求导,注意乘法的公式的应用,再利用导数存在的必要条件,求出单个函数在某点左右(该点导数不存在)的导数值,最后带入即可。第三题是考察参数式的导数问题,首先求导数,先变为直角坐标,然后进行求导,注意切线垂直的应用,带入检验即可。有问题留言,谢谢大家的支持!
伯努利分布(Bernoulli distribution)又名 两点分布 或 0-1分布,在讲伯努利分布前首先需要介绍伯努利试验(Bernoulli Trial)
输入共一行,包含 5 个整数,分别为 a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。
神TM T3模数为啥是\(1e9 + 9\)啊啊啊啊,而且我也确实是眼瞎。。。真是血的教训啊。。
平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和(Sum of squares),其和又可称为四角锥数,或金字塔数(square pyramidal number)也就是正方形数的级数。
在 n 次硬币的公平抛掷中,每个硬币正、反面朝上的概率均为 1/2。让我们考虑一个事件 A,其表示在 n 次抛掷中不出现比连续 lgn 更长的连续正面特征序列。事件的 A 对立事件 B 由出现比连续 lgn 更长的连续正面特征序列组成。
陶哲轩是公认的数学天才,被誉为「数学神童」。他从小便展现出惊人的数学天赋,9 岁时就参加了美国数学奥林匹克,并获得了金牌。他在数论、调和分析、偏微分方程等多个数学领域做出了重要贡献,并获得了菲尔兹奖, 这一奖项被视为数学界的最高荣誉,相当于数学界的诺贝尔奖。
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